一个正整数可以划分为多个正整数的和，比如n=3时：
3；1＋2；1＋1＋1；
共有三种划分方法。
给出一个正整数，问有多少种划分方法
先不着急归纳，我们先试着分析状态转移关系
用f[i][j]表示前i个数可以组合出j的方案数
本题一个重要的性质：每个数字都可以使用无限多次（这不就是完全背包吗，笑）
也就是说现在组成的数字j，可以不使用数字i，也可以在使用数字i后变成数字j，但是得保证数字j是大于等于i的
这样我们就可以写出状态转移方程：f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-i]
这里的一个不好懂的地方就在于如何很好的实现“可以多次使用”这个性质
答案就是可以通过for循环枚举j的大小来实现，由于可以使用新的数字了，所以我们要从头开始枚举（当然为了使用数字i，j肯定要从i开始循环，真的是这样嘛？二维会出错，一维是对的）
也就是说只要可以把数字i放进去我们就加上这个方案，这不就实现了“多次使用”这个性质了吗？
但是我们还要注意一下临界情况，通过状态转移方程我们可以发现i最好从2开始循环，而且j-i很有可能等于0，所以我们要初始化这两种情况
当i等于1的时候不论组成什么数字方案数都只有一种情况，而通过观察状态转移方程可得f[i][0]是只能通过f[i][j-1]得到的，也就是说f[i][0]是一种合法状态，且不能叠加，那么就直接初始化为1
先来一个好懂的没有优化过的代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int m;
int f[1010][1010];
int main()
{
cin>>m;
for(int i=1;i<=m;i++) f[1][i] = 1;
for(int i=1;i<=m;i++) f[i][0] = 1;
for(int i=1;i<=m;i++)
for(int j=1;j<=m;j++)
{
if(j<i) f[i][j] = f[i-1][j];
else f[i][j] = f[i-1][j]+f[i][j-i];
}
cout<<f[m][m];
return 0;
}
需要注意的是为什么非得分情况讨论？
那是因为到了新一行的时候第i行的所有数据都还为0，即使没法更新放入数字i的情况也不能让这一行前面几个数据保持为0啊，若是保持为0的话就会丢失数据而无法继承，导致结果数目变少
然后我们考虑优化的场合
是否可以优化？答案当然是可以的，由于我们每次更新数据都只会用到上一行的情况，因此我们可以巧妙的只维持一行数据，
新一行的数据或者继承原本的数据，或者在原本的数据上做更新
也就是说我们只用f[j]来表示数字组合为j的方案数有多少
状态转移方程是f[j] = f[j]或者f[j] = f[j]+f[j-i]
自然很容易想到当i>j的时候是没法用新数字i的，所以f[j] = f[j]就是没法更新嘛
另一方自然是i<=j的情况了
而且，我们通过观察状态转移方程发现临界状态的表示似乎更简单了，只需要f[0] = 1就可
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n;
int f[10010];
int main()
{
cin>>n;
f[0] = 1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i;j<=n;j++)
f[j] += f[j-i];
printf("%d",f[n]);
return 0;
} 要加油哇！