如何更好地理解递归算法?Python实例详解

  • Post author:
  • Post category:python


递归是一种较为抽象的数学逻辑,可以简单的理解为

「程序调用自身的算法」

维基百科对递归的解释是:

递归(英语:Recursion),又译为递回,在数学与计算机科学中,是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归一词还较常用于描述以自相似方法重复事物的过程。

例如,当两面镜子相互之间近似平行时,镜中嵌套的图像是以无限递归的形式出现的。也可以理解为自我复制的过程。

“递”是传递的意思,”归”是归还的意思,先把一个方法一层层传递下去,然后传递到最后一层再把结果归还回来。

900

比方说我排队做核酸检测,前面有100个人,我想问下医务人员几点下班,于是问了我前面那兄弟,他又问了他前面的人,一个个传递下去,最终传递到了医务人员那里,回话说下午六点下班。这句话又往回传,最终到了我这里,我知道了医务人员六点下班。

这个过程就是一个递归过程,如果说”传话”本身是一种方法,那这整个传话过程就是在调用自身方法,最终获得了结果。

这和循环不一样,循环相当于给所有人都所有人都戴了耳机,然后有”中介”挨个去问你知道医务人员几点下班吗,等问到医务人员的时候,得到答案,“中介”告诉我六点下班。

实质上,递归就是把一个大问题不断拆解,像剥洋葱一样,最终拆解到最小层面,会返回解题结果。

900

用Python举一个最简单的递归函数例子,讲一讲什么是递归的应用。

我们经常会看到函数会调用自身来实现循环操作,比如求阶乘的函数。

整数n的阶乘即

如下面5行Python代码,就能实现阶乘的计算

输出:120

很多人可能困惑这里面的计算逻辑,为什么fact函数中调用了自身,最终能得到结果。

我们可以按照数学逻辑进行推演:

整数n的阶乘是:

整数n-1的阶乘是:

所以可以推断

这里是不是一种 fact方法可以为每个数所调用,最终调用到了n=1的时候,就返回结果n的阶乘。

0?tp=sharp

大家看上图,递归函数会一层层往下调用,最终到n=1的时候,往上返回结果。

这就是递归的全过程,如果我们给递归下一个准确的定义,可以概括为以下3点:

1、至少有一个明确的递归结束条件;

2、给出递归终止时的处理办法;

3、每次进入更深一层递归时,问题规模(计算量)相比上次递归都应有所减少

以上面代码为例:

除了常见的阶乘案例,还有斐波那契数列,也是递归的经典用法。

斐波那契数列:

这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。

它以如下被以递推的方法定义:

在Python中,我们可以使用递归函数的方式去实现斐波那契数列:

使用数学方法进行推导:

fab(0) = 0(初始值)

fab(1) = 1(初始值)

对所有大于1的整数n:fab(n) = fab(n-1)+ fab(n-2)(递归定义)

其实以上两个递归的案例都可以用数学归纳法来解释,就是高中数学的知识。

一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n),有如下步骤:

(1)证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况;

(2)假设当n=k(k≥n0,k为自然数)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立。

综合(1)(2),对一切自然数n(≥n0),命题P(n)都成立。

除了数学的解释,之前也看到有人对递归更加形象的解释:

1、我们已经完成了吗?如果完成了,返回结果。如果没有这样的终止条件,递归将会永远地继续下去。

2、如果没有,则简化问题,解决较容易的问题,并将结果组装成原始问题的解决办法。然后返回该解决办法。

哈哈,到这里大家是不是对递归有了一个更加深刻的认识。

如果还不清楚,没关系,这里还有更多的递归案例,用Python来实现,可以说非常简洁。


「最大公因数:」


「从 1 到 n 的数字之和:」


「字符串倒序:」


「汉诺塔问题:」


「二分法找有序列表指定值:」

有位大佬说过:To Iterate is Human, to Recurse, Divine.

中文译为:人理解迭代,神理解递归。

可见递归是非常神奇的算法,它的神奇之处在于它允许用户用有限的语句描述无限的对象。

当然人无完人,递归也是有缺点的,它一般效率较低,且会导致调用栈溢出。

因为递归不断调用自身函数,且产生大量变量,而栈空间的容量是有限的,循环太多就会效率低下,甚至导致调用栈溢出



版权声明:本文为qq_37345169原创文章,遵循 CC 4.0 BY-SA 版权协议,转载请附上原文出处链接和本声明。