系统稳定性一般有系统状态的稳定性和关于平衡点的稳定性两种定义形式，对线性系统而言，系统状态稳定性和平衡点稳定性是完全等价的，但是对于非线性系统而言，二者具有完全不同的含义。
所谓平衡点稳定性是指系统在受到外扰动作用下，轻微偏离平衡点后，是否具有回到平衡点处的能力，若系统偏离平衡点后，能自行回复到平衡点处，则系统关于平衡点是稳定的，否则系统关于平衡点是不稳定的。在Lyapunov稳定性分析中，对平衡点稳定性进行了充分的探讨，且在稳定性理论中，Lyapunov稳定性最早给出了运动稳定性的概念，因Lyapunov稳定性在数学上简单、协调和恰当，使其成为研究最充分，应用最广泛的稳定性理论。
下面给出Lyapunov稳定性概念以及判定定理：
考虑非线性时不变系统：
（20）
其中 ，且函数 在 上满足局部Lipschitz条件，即对每一点 ，存在邻域 满足：
（21）
其中 为在邻域 上的Lipschitz常数。
设 为系统（20）的平衡点，则
（22）
系统（20）的解 满足一定条件有如下性质：
如果存在非负函数 ，使 ，则解 是有界的。
如果对 ，存在一个 ，使 成立，则解 是稳定的。
如果对任意 ，存在一个 ，使
成立，则解 是具有吸引性的。
如果平衡点 既稳定又具有吸引性，则解 渐进稳定（AS）。
如果平衡点 是稳定的，且可以找到 满足 ，则解 全局稳定（GS）。
如果平衡点 对所有的 都稳定，则解 全局渐进稳定（GAS）。
如果存在正常数 ，使 成立，则解 指数稳定（ES）。
如果存在正常数 对所有的 ，使
均成立，则解 指数稳定（ES）。
采用Lyapunov稳定性理论研究运动稳定性问题有两种方法，分别称为第一方法和第二方法，或者称为间接方法和直接方法。间接方法是在求得扰动微分方程组通解或特解的基础上来研究稳定性问题，这种方法虽然在理论上是完整的，但有很大的应用局限性，因此实际使用中较少。直接法是借助于一个类似于能量泛函的标量函数 ，以及标量函数对时间的导数 的符号性质来直接判定运动稳定问题的方法。由于直接法避免了求解微分方程的麻烦，使该方法得到了广泛的应用，已成为研究稳定性的基本方法。
下面给出判断Lyapunov稳定性的Lyapunov直接法判定定理。
取 为系统（20）的平衡点，并假定函数 在 上满足局部Lipschitz条件，取 为一个连续可微的函数 并满足如下条件：
（23）
（24）
（25）
则当 时，平衡点 是全局稳定的；当对所有的 ， 时，平衡点 是全局渐进稳定的。