向量及平面方程

定理1：向量a != 0，向量b//a的充要条件是：存在唯一实数k，使b=ka；

向量r的坐标分解式：r=xi+yj+zk，其中xi,yj,zk称为r沿三个坐标轴的分向量


模


向量r=(x,y,z)，模长|r|=根号下(x

^2+y

2+z^2)


方向角


向量r=(x,y,z)与x，y，z轴的夹角，分别为A，B，C


方向余弦


cosA=x/|r|，cosB=y/|r|，cosC=z/|r|

方向余弦为坐标的向量就是与r同向的单位向量e


投影


a在u轴上的投影：|a|*cosA，A为a与u的夹角

已知终点求起点或已知起点求终点：已知坐标与对应轴的投影的代数和


数量积/点乘


a·b=|a|·|b|·cosA，其中A是a,b的夹角

a·a=|a|

^2·cos0=|a|

2

a与b垂直的必要充分条件：a·b=0


向量积叉乘


c=axb，|c|=|a|·|b|·sinA，其中A为a与b的夹角，c的方向垂直于a，b所决定的平面

右手：四指为a，手心为b，拇指方向为c

1. axa=0
2. a//b的充要条件：axb=0
3. axb=-bxa
   
   坐标表示：

求三角形面积可用到向量积：

S=1/2·|a|·|b|·sinA=1/2·|axb|


点乘是数，叉乘是向量

平面方程

法线

：可用叉乘求法线。a,b为平面上不共线的向量，n=axb为该平面的一个法向量

点法式方程

一般方程：

截距式方程：

平面夹角

范围：0~180

设两平面法向量n1=(A1,B1,C1)，n2=(A2,B2,C2)，法向量的锐角夹角为两平面夹角




点到平面距离

求平面方程

1. 求过平面上三点地平面：直接带入一般式
2. 求过一点，且与另一已知平面平行的平面：带入点求比例k
3. 求过一点，且与另一已知向量垂直的平面：已知向量为法向量，再带入点
4. 求过一点，且与另两条直线平行的平面：法向量与方向向量垂直，带入点
5. 求两平面交线与第三个平面的交点：设点，带三个方程
6. 求过已知一点和一条已知直线的平面方程：设法向量。法向量与方向向量垂直、已知点在平面上、直线上的一点在平面上，三条方程只剩一个未知数除去地一般方程