中国剩余定理算法详解（互质与不互质情况）

参考

中国剩余定理：
参考博客
中国剩余定理介绍

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3 余2），五五数之剩三（除以5 余3），七七数之剩二（除以7 余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

具体解法分三步：

找出三个数，从3和5的公倍数中找出被7除余1（
≡

≡

$\equiv$ 1 mod 7）的最小数15
从3和7的公倍数中找出被5除余1（
≡

≡

$\equiv$ 1 mod 5）的最小数21
最后从5和7中找出除3余1（
≡

≡

$\equiv$ 1 mod 3）的最小数70.
用15乘2（2为最终结果除以7的余数），21乘3（3为最终结果除以5的余数），70乘2（2为最终结果除以3的余数），把三个乘积相加（15*2+21*3+70*2）得到233.
用233除以3,5,7的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23，这个23就是符合条件的最小数

如此简单的方法，背后有什么基本的数学依据呢？
下面细细道来：

中国剩余定理分析

我们将问题拆分成几个简单的小问题，从零开始，揣测古人是如何推导出这个解法的。

首先我们假设
n1

$n_1$ 是满足除以3余2的一个数（即
n1≡2(mod3)

≡

(

)

$n_1\equiv2 (mod 3)$ ）,比如2,5,8等等，也就满足3*k+2的任意一个数。同样我们假设
n2

$n_2$ 是满足除以5余3的一个数（即
n2≡3(mod5)

≡

(

)

$n_2\equiv3 (mod 5)$ ），
n3

$n_3$ 是满足除以7余2的一个数（即
n3≡2(mod7)

≡

(

)

$n_3\equiv2 (mod 7)$ ）。

有了前面的假设，我们先从
n1

$n_1$ 的角度出发，已知
n1

$n_1$ 满足除以3余2，那么我们想，能不能使
n1+n2

$n_1+n_2$ 的和仍然满足除以3余2？进而使得
n1+n2+n3

$n_1+n_2+n_3$ 的和仍然满足除以3余2？

这就涉及到一个基本数学同余定理（a）：
如果有a % b = c，则有（a + kb）%b = c（k为非零整数）
或者写成
a≡c

a

≡

c

$a \equiv c$ (mod b),则有
a+kb≡c

a

+

k

b

≡

c

$a+kb \equiv c$ (mod b)(k为非零整数)
（这个定理非常简单也易于理解不再过多解释（若不懂可查看相关同余的知识））

以此为依据，如果
n2

$n_2$ 是3的倍数，那么
n1+n2

$n_1+n_2$ 就能满足除以3余2，同理如果
n3

$n_3$ 也是3的倍数，那么
n1+n2+n3

$n_1+n_2+n_3$ 仍然满足除以3余2.同理我们从
n2,n3

$n_2,n_3$ 的角度考虑得到以下三点：
1. 为使
n1+n2+n3

$n_1+n_2+n_3$ 的和满足除以3 余2，
n2

$n_2$ 和
n3

$n_3$ 必须是3 的倍数。
2. 为使
n1+n2+n3

$n_1+n_2+n_3$ 的和满足除以5 余3，
n1

$n_1$ 和
n3

$n_3$ 必须是5 的倍数。
3. 为使
n1+n2+n3

$n_1+n_2+n_3$ 的和满足除以7 余2，
n1

$n_1$ 和
n2

$n_2$ 必须是7 的倍数

↓

↓

$\downarrow$
1.
n1

$n_1$ 除以3 余2，且是5 和7 的公倍数。
2.
n2

$n_2$ 除以5 余3，且是3 和7 的公倍数。
3.
n3

$n_3$ 除以7 余2，且是3 和5 的公倍数。

↓

↓

$\downarrow$
孙子问题解法的本质是
1. 从5 和7 的公倍数中找一个除以3 余2 的数
n1

$n_1$
2. 从3 和7的公倍数中找一个除以5 余3 的数
n2

$n_2$
3. 从3 和5 的公倍数中找一个除以7 余2 的数
n3

$n_3$
再将三个数相加得到解。

在求解过程中又用了一个小技巧，相信大家在刚才的例子中已经发现，以n1 为例，并非从5 和7 的公倍数中直接找一个除以3 余2 的数，而是先找一个除以3 余1 的数，再乘以2。这是为什么？
下面引入另一个数学同余定理（b)
如果a%b=c,那么（a*k）%b = （a%b+a%b+…a%b）%b = (c+c+c+…+c)%b = k*c%b(k>0)
也就是说，如果一个除法的余数为c，那么被除数乘k倍，余数也跟着变成k倍，反之也成立。

最后，我们还要清楚一点,
n1+n2+n3

$n_1+n_2+n_3$ 只是问题的一个解，并不是最小的解。实际上
n1+n2+n3

$n_1+n_2+n_3$ +
n⋅lcm

⋅

$n\cdot lcm$ 都是解。
如何得到最小解？我们只需要从中最大限度的减掉掉3，5，7 的公倍数105 即可。道理就是前面讲过的定理“如果a%b=c,则有(a-kb)%b=c”。（
n1+n2+n3

$n_1+n_2+n_3$ ）%105 就是最终的最小解。

总结

经过分析发现，中国剩余定理的孙子解法并没有什么高深的技巧，就是以下两个基本数学
定理的灵活运用：
如果 a%b=c , 则有 (a+kb)%b=c (k 为非零整数)。
如果 a%b=c，那么 (a*k)%b=kc%b (k 为大于零的整数)。

推广到一般情况

例如下面的一元线性同余方程组：
　　x ≡ a1 (mod m1)
　　x ≡ a2 (mod m2)
　　x ≡ a3 (mod m3)
　　　　… …
　　x ≡ an (mod mn)
假设整数
m1,m2,m3...mn

m

1

,

m

2

,

m

3

.

.

.

m

n

$m_1,m_2,m_3...m_n$ 两两互质，
m=m1⋅m2...mn

m

=

m

1

⋅

m

2

.

.

.

m

n

$m = m_1\cdot m_2...m_n$ 则对于任意整数
a1,a2,a3...an

a

1

,

a

2

,

a

3

.

.

.

a

n

$a_1,a_2,a_3...a_n$ ,x有解

求解x的过程：
（为了便于叙述，下面用同余的写法）

x=⟮

⟮

$x =\lgroup$ (
≡a1

≡

$\equiv a_1$ (mod
m1

$m_1$ ) 并且是
m2,m3..mn

$m_2,m_3..m_n$ 的公倍数的数)+…+(
≡aj

≡

$\equiv a_j$ (mod
mj

$m_j$ )并且是
m1...mj−1,mj+1...mn

−

$m_1...m_{j-1},m_{j+1}...m_n$ 的公倍数的数)+…+(
≡an

≡

$\equiv a_n$ (mod
mn

$m_n$ )并且是
m1...mn−1

−

$m_1...m_{n-1}$ 的公倍数)
⟯

⟯

$\rgroup$ %
lcm(m1...mn)

(

)

$lcm(m_1...m_n)$

问题转换成：找到
≡aj

≡

$\equiv a_j$ (mod
mj

$m_j$ )的
m1...mj−1,mj+1...mn

−

$m_1...m_{j-1},m_{j+1}...m_n$ 的公倍数

↓

↓

$\downarrow$
我们可以先求
≡1

≡

$\equiv 1$ (mod
mj

$m_j$ )的
m1...mj−1,mj+1...mn

−

$m_1...m_{j-1},m_{j+1}...m_n$ 的公倍数
Nj

$N_j$ ,然后
Nj∗aj

∗

$N_j *a_j$ 即可

↓

↓

$\downarrow$
问题转换成：求
Nj

$N_j$
因为
Nj

$N_j$ 是
m1...mj−1,mj+1...mn

−

$m_1...m_{j-1},m_{j+1}...m_n$ 的公倍数，我们知道
m1...mj−1,mj+1...mn

−

$m_1...m_{j-1},m_{j+1}...m_n$ 的最小公倍数
Mj=mmj

$M_j = \frac{m}{m_j}$ (因为
m1...mn

$m_1...m_n$ 互质)，所以
Nj

$N_j$ 可以表示成
Nj

$N_j$ =
Mj∗R

∗

$M_j * R$

↓

↓

$\downarrow$
问题再次转换为：求R，使得
MjR≡1

≡

$M_j R \equiv 1$ (mod
mj

$m_j$ ),发现R就是
Mj

$M_j$ 的逆元，我们要求
Mj

$M_j$ 的乘法逆元

↓

↓

$\downarrow$
求乘法逆元运用扩展欧几里得算法：

MjR+mjy=1

$M_jR + m_jy = 1$ ,变量是R和y，调用ex_gcd(
Mj,mj,R,y

$M_j,m_j,R,y$ )

↓

↓

$\downarrow$
最终
x=∑(Rj∗Mj)∗aj

∑

(

∗

)

∗

$x = \sum (R_j * M_j) * a_j % m$
((
Rj∗Mj

∗

$R_j*M_j$ )是
Nj

$N_j$ 即取模为1的…,
aj

$a_j$ 就是那个余数一相乘得到取模为
aj

$a_j$ 的…)

代码：

//扩展欧几里得模板
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){
    int d;
    if(b == 0){
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    d = ex_gcd(b,a%b,y,x);
    y -= a / b * x;
    return d;
}
int Chinese_Remainder(int a[],int prime[],int len){
    int i,d,R,y,M,m = 1,sum = 0;
    //计算所有除数的积，也就是所有除数的最小公倍数m
    for(i = 0; i < len; i++)
        m *= prime[i];
    //计算符合所有条件的数
    for(i = 0; i < len; i++){
        M = m / prime[i];//计算除去本身的所有除数的积M
        d = ex_gcd(M,prime[i],R,y);
        sum = (sum + R * M * a[i]) % m;
    }
    return (m + sum % m) % m;//满足所有方程的最小解
}

m1...mn

x≡a1

≡

$x \equiv a_1$ (mod
m1

$m_1$ )

x≡a2

≡

$x \equiv a_2$ (mod
m2

$m_2$ )

↓

↓

$\downarrow$

x=m1x1+a1

$x = m_1x_1 + a_1$

x=m2x2+a2

$x = m_2x_2 + a_2$

↓

↓

$\downarrow$

m1x1+a1=m2x2+a2

$m_1x_1 + a_1 = m_2x_2 + a_2$

↓

↓

$\downarrow$

m1x1=(a2−a1)+m2x2

(

−

)

$m_1x_1 = (a_2-a_1) + m_2x_2$

↓

↓

$\downarrow$

m1x1≡(a2−a1)

≡

(

−

)

$m_1x_1 \equiv (a_2-a_1)$ (mod
m2

$m_2$ )
显然，该同余式要想有解，根据同余式定理，必须有
gcd(m1,m2)|(a2−a1)

(

)

(

−

)

$gcd(m_1,m_2)|(a_2-a_1)$
设
gcd(m1,m2)=d

(

)

$gcd(m_1,m_2) = d$ ,
(a2−a1)=c

(

−

)

$(a_2-a_1) = c$
则式子变成
m1x1≡c

≡

$m_1x_1 \equiv c$ (mod
m2

$m_2$ )

↓

↓

$\downarrow$
根据同余式定理求解方法，我们先解

m1k1+m2k2=d

$m_1k_1+m_2k_2 = d$
解出
k1

$k_1$ 后在求出最小正整数解
x1

$x_1$

↓

↓

$\downarrow$

m1x1d≡cd(modm2d)

≡

(

)

$\frac{m_1x_1}{d} \equiv \frac{c}{d}(mod\frac{m_2}{d})$

x1≡cd⋅(m1d)−1(modm2d)

≡

⋅

(

)

−

(

)

$x_1 \equiv \frac{c}{d} \cdot (\frac{m_1}{d})^{-1} (mod \frac{m_2}{d})$

令
X=cd⋅(m1d)−1

⋅

(

)

−

$X = \frac{c}{d} \cdot (\frac{m_1}{d})^{-1}$

则
x1≡X(modm2d)

≡

(

)

$x_1 \equiv X(mod \frac{m_2}{d})$

x1=m2dy+X

$x_1 = \frac{m_2}{d}y + X$

根据
x=m1x1+a1

$x = m_1x_1 + a_1$ ，代入得到

x=m1m2dy+m1X+a1

$x = \frac{m_1m_2}{d}y+m_1X+a_1$

即：
x≡(m1X+a1)(modm1m2d)

≡

(

)

(

)

$x \equiv (m_1X+a_1) (mod\frac{m_1m_2}{d})$

最终我们将两个同余式合并成了一个都变成了
x≡a

≡

$x \equiv a$ (mod n)的形式，所以不断合并，最终的a和x同余就是我们所求的x值。

代码怎么写呢？
其实答案就在上面推导过程中

我们根据两个同余式
运用扩展欧几里得解同余式

m1x1≡(a2−a1)

≡

(

−

)

$m_1x_1 \equiv (a_2-a_1)$ (mod
m2

$m_2$ )

解出

x1≡X(modm2d)

≡

(

)

$x_1 \equiv X(mod \frac{m_2}{d})$

而新的同余式是

x≡(m1X+a1)(modm1m2d)

≡

(

)

(

)

$x \equiv (m_1X+a_1) (mod\frac{m_1m_2}{d})$

这样我们就可以求出新的同余式的a值和m值了，然后不断循环求解得到最终的a值

code:

    //有时候可能会用到lcm来求解多组解，因为你求出来的是最小解，所以你就可以通过不断加lcm求解多组解
    int lcm;
    int china2(int num){//不互质的中国剩余定理
        int m1=m[0],a1=a[0],m2,a2,k1,k2,x0,gcd,c;//这里的x0相当于推导过程中的x1
        lcm=m[0];
        for(int i=1;i<num;i++){
            m2=m[i],a2=a[i];
            c=a2-a1;
            gcd=exgcd(m1,m2,k1,k2);//解得：n1*k1+n2*k2=gcd(n1,n2)
            lcm=lcm*m[i]/Gcd(lcm,m[i]);//通过这个循环求解出所有mod的最大公约数
            if(c%gcd){
               flag=1;//!!!!!!china也可以求解出为0的值，所以为0不一定就是无解，所以你要通过flag来判断是否无解。
               return 0;//无解
            }
            x0=c/gcd*k1;//n1*x0+n2*(c/gcd*k2)=c  PS:k1/gcd*c错误！
            int t=m2/gcd;
            x0=(x0%t+t)%t;//求n1*x0+n2*y=c的x0的最小解
            a1+=m1*x0;
            m1=m2/gcd*m1;
        }
        return a1;
    }

若内容有误欢迎指正

原文链接：https://blog.csdn.net/codeswarrior/article/details/81056425

参考

中国剩余定理分析

总结

推广到一般情况

m1...mn m 1 . . . m n m_1...m_n不互质的情形：合并方程：

你可能也喜欢

m1...mn