本节为线性代数复习笔记的第二部分，矩阵的概念与计算，主要包括：几个特殊特殊矩阵，矩阵乘法，伴随矩阵，逆矩阵的运算性质以及求矩阵逆的五个方法。
1. 几个特殊矩阵
- 单位矩阵：主对角元素均为1，其余元素全为0的n阶方阵，称为n阶单位矩阵；
- 数量矩阵：数k和单位矩阵的乘积；
- 对角矩阵：非主对角元素均为0的矩阵；
- 对称矩阵：满足条件
A
T
=
A
A^T=A
AT=A的矩阵； - 反对称矩阵：满足条件
A
T
=
A
−
1
A^T=A^{-1}
AT=A−1的矩阵； - 正交矩阵：满足条件
A
T
=
A
−
1
A^T=A^{-1}
AT=A−1或A
A
T
=
A
T
A
=
E
AA^T=A^TA=E
AAT=ATA=E的矩阵。
2. 矩阵乘法
设A是
m
×
s
m \times s
m×s矩阵，B是
s
×
n
s \times n
s×n矩阵，则A，B可乘，乘积AB是
m
×
n
m \times n
m×n矩阵。记
C
=
A
B
=
(
c
i
j
)
m
×
n
C=AB=(c_{ij})_{m\times n}
C=AB=(cij)m×n，C的i行j列元素是A的第i行的s个元素和B的第j列的s个元素两两乘积之和。
e
g
.
α
=
[
α
1
,
α
2
,
α
3
]
T
，
β
=
[
b
1
,
b
2
,
b
3
]
T
eg.\alpha=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]^T，\beta=[b_1,b_2,b_3]^T
eg.α=[α1,α2,α3]T，β=[b1,b2,b3]T，
A
=
α
β
T
，
求
A
n
.
A=\alpha\beta^T，求A^n.
A=αβT，求An.
解
：
A
n
=
(
α
β
T
)
(
α
β
T
)
.
.
.
(
α
β
T
)
解：A^n=(\alpha\beta^T)(\alpha\beta^T)…(\alpha\beta^T)
解：An=(αβT)(αβT)...(αβT)
=
α
(
β
T
α
)
n
−
1
β
T
=\alpha(\beta^T\alpha)^{n-1}\beta^T
=α(βTα)n−1βT
=
∣
α
1
α
2
α
3
∣
(
[
b
1
,
b
2
,
b
3
]
∣
α
1
α
2
α
3
∣
)
n
−
1
[
b
1
,
b
2
,
b
3
]
=\left|\begin{matrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{matrix}\right|\left([b_1,b_2,b_3]\left|\begin{matrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{matrix}\right|\right)^{n-1}[b_1,b_2,b_3]
=∣∣∣∣∣∣α1α2α3∣∣∣∣∣∣⎝⎛[b1,b2,b3]∣∣∣∣∣∣α1α2α3∣∣∣∣∣∣⎠⎞n−1[b1,b2,b3]
=
[
Σ
i
=
1
3
α
i
b
i
]
n
−
1
A
=[\Sigma_{i=1}^3\alpha_ib_i]^{n-1}A
=[Σi=13αibi]n−1A.
3. 矩阵的逆
3.1 概念
A，B是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，若AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，记为
A
−
1
A^{-1}
A−1.
|A|不为0是矩阵A可逆的充要条件。
3.2 伴随矩阵
3.2.1 展开定理的推广对于余子式有这样一个推理：
k
1
A
i
1
+
k
2
A
i
2
+
.
.
.
+
k
n
A
i
n
=
∣
∗
k
1
k
2
.
.
.
k
n
∗
∣
k_1A_{i1}+k_2A_{i2}+…+k_nA_{in}=\left|\begin{matrix}&*&&\\k_1&k_2&…&k_n\\&*&& \end{matrix}\right|
k1Ai1+k2Ai2+...+knAin=∣∣∣∣∣∣k1∗k2∗...kn∣∣∣∣∣∣
3.2.2 伴随矩阵的定义将行列式|A|的
n
2
n^2
n2个元素的代数余子式【代数余子式本质上是一个“缺斤少两”的原行列式，是一个数】按如下形式排列成的矩阵，称为A的伴随矩阵，记为
A
∗
A^*
A∗，有
A
A
∗
=
∣
A
∣
E
AA^*=|A|E
AA∗=∣A∣E.
A
A
∗
=
[
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
a
21
a
22
.
.
.
a
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
.
.
.
a
n
n
]
[
A
11
A
12
.
.
.
A
1
n
A
21
A
22
.
.
.
A
2
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A
n
1
A
n
2
.
.
.
A
n
n
]
AA^*=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&…&a_{2n}\\…&…&…&…\\a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nn}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}A_{11}&A_{12}&…&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&…&A_{2n}\\…&…&…&…\\A_{n1}&A_{n2}&…&A_{nn}\end{matrix}\right]
AA∗=⎣⎢⎢⎡a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡A11A21...An1A12A22...An2............A1nA2n...Ann⎦⎥⎥⎤
=
[
∣
A
∣
0
.
.
.
0
0
∣
A
∣
.
.
.
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0
0
.
.
.
∣
A
∣
]
=
∣
A
∣
E
=\left[\begin{matrix}|A|&0&…&0\\0&|A|&…&0\\…&…&…&…\\0&0&…&|A|\end{matrix}\right]=|A|E
=⎣⎢⎢⎡∣A∣0...00∣A∣...0............00...∣A∣⎦⎥⎥⎤=∣A∣E.
[
注
]
：
[
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
]
[
A
21
A
22
.
.
.
A
2
n
]
[注]：\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}A_{21}\\A_{22}\\…\\A_{2n}\end{matrix}\right]
[注]：[a11a12...a1n]⎣⎢⎢⎡A21A22...A2n⎦⎥⎥⎤
=
a
11
A
21
+
a
12
A
22
+
.
.
.
+
a
1
n
A
2
n
=a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+…+a_{1n}A_{2n}
=a11A21+a12A22+...+a1nA2n
=
[
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
a
11
a
12
.
.
.
a
1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n
1
a
n
2
.
.
.
a
n
n
]
（
有
两
行
相
同
，
行
列
式
为
0
）
=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\a_{11}&a_{12}&…&a_{1n}\\…&…&…&…\\a_{n1}&a_{n2}&…&a_{nn}\end{matrix}\right]（有两行相同，行列式为0）
=⎣⎢⎢⎡a11a11...an1a12a12...an2............a1na1n...ann⎦⎥⎥⎤（有两行相同，行列式为0）
于是有
A
−
1
=
1
∣
A
∣
A
∗
A^{-1}=\frac1{|A|}A^*
A−1=∣A∣1A∗
3.2.3 逆矩阵运算的性质
-
(
k
A
)
−
1
=
1
k
A
−
1
(kA)^{-1}=\frac1kA^{-1}
(kA)−1=k1A−1 -
(
A
B
)
−
1
=
B
−
1
A
−
1
(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}
(AB)−1=B−1A−1 -
(
A
T
)
−
1
=
(
A
−
1
)
T
(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T
(AT)−1=(A−1)T -
∣
A
−
1
∣
=
∣
A
∣
−
1
|A^{-1}|=|A|^{-1}
∣A−1∣=∣A∣−1
3.2.4 求逆矩阵的方法
- 根据伴随矩阵，若|A|不为0，则
A
−
1
=
1
∣
A
∣
A
∗
A^{-1}=\frac1{|A|}A^*
A−1=∣A∣1A∗ - 初等变换：初等行变换
[
A
∣
E
]
⟹
[
E
∣
A
−
1
]
[A|E]\Longrightarrow[E|A^{-1}]
[A∣E]⟹[E∣A−1]或者初等列变换[
A
E
]
⟹
[
E
A
−
1
]
\left[\begin{matrix}A\\E\end{matrix}\right]\Longrightarrow\left[\begin{matrix}E\\A^{-1}\end{matrix}\right]
[AE]⟹[EA−1] -
A
−
1
=
(
B
C
)
−
1
=
C
−
1
B
−
1
A^{-1}=(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}
A−1=(BC)−1=C−1B−1 -
[
A
O
O
B
]
−
1
=
[
A
−
1
O
O
B
−
1
]
\left[\begin{matrix}A&O\\O&B\end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{matrix}\right]
[AOOB]−1=[A−1OOB−1]，[
O
A
B
O
]
−
1
=
[
O
A
−
1
B
−
1
O
]
\left[\begin{matrix}O&A\\B&O\end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}O&A^{-1}\\B^{-1}&O\end{matrix}\right]
[OBAO]−1=[OB−1A−1O] - 特殊地，对于二阶矩阵
A
=
[
a
b
c
d
]
A=\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right]
A=[acbd]，A
−
1
=
1
a
d
−
b
c
[
d
−
b
c
a
]
−
1
（
主
对
调
，
副
变
号
）
A^{-1}=\frac1{ad-bc}\left[\begin{matrix}d&-b\\c&a\end{matrix}\right]^{-1}（主对调，副变号）
A−1=ad−bc1[dc−ba]−1（主对调，副变号）
e
g
.
A
=
[
0
2
−
1
1
1
2
−
1
−
1
−
1
]
的
逆
矩
阵
。
eg.A=\left[\begin{matrix}0&2&-1\\1&1&2\\-1&-1&-1\end{matrix}\right]的逆矩阵。
eg.A=⎣⎡01−121−1−12−1⎦⎤的逆矩阵。
解
：
[
A
∣
E
]
=
[
0
2
−
1
1
0
0
1
1
2
0
1
0
−
1
−
1
−
1
0
0
1
]
→
[
1
0
0
−
1
2
−
3
2
−
5
2
0
1
0
1
2
1
6
1
2
0
0
1
0
1
1
]
解：[A|E]=\left[\begin{matrix}0&2&-1&1&0&0\\1&1&2&0&1&0\\-1&-1&-1&0&0&1\end{matrix}\right]\rightarrow\left[\begin{matrix}1&0&0&-\frac12&-\frac32&-\frac52\\0&1&0&\frac12&\frac16&\frac12\\0&0&1&0&1&1\end{matrix}\right]
解：[A∣E]=⎣⎡01−121−1−12−1100010001⎦⎤→⎣⎡100010001−21210−23611−25211⎦⎤
（具体变换为1行2行互换，3行加到1行，3行的-2倍加到1行，3行加到2行，2行取半，2行的-1倍加到1行）
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