付账问题

一、题目内容

题目描述

几个人一起出去吃饭是常有的事。但在结帐的时候，常常会出现一些争执。

现在有 n 个人出去吃饭，他们总共消费了 S 元。其中第 i 个人带了  元。幸运的是，所有人带的钱的总数是足够付账的，但现在问题来了：每个人分别要出多少钱呢？

为了公平起见，我们希望在总付钱量恰好为 S 的前提下，最后每个人付的钱的标准差最小。这里我们约定，每个人支付的钱数可以是任意非负实数，即可以不是 1 分钱的整数倍。你需要输出最小的标准差是多少。

标准差的介绍：标准差是多个数与它们平均数差值的平方平均数，一般用于刻画这些数之间的”偏差有多大”。形式化地说，设第 i 个人付的钱为  元，那么标准差为 :

输入描述

第一行包含两个整数 n、S；

第二行包含 n 个非负整数 ，⋯ ，​。

其中，n ≤ 5×10^5，0 ≤ ≤ 10^9 。 

输出描述

输出最小的标准差，四舍五入保留 4 位小数。

保证正确答案在加上或减去  后不会导致四舍五入的结果发生变化。

输入输出样例

输入

5 2333
666 666 666 666 666

输出 

0.0000

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存：256M

 二、思路分析

        贪心+模拟，为了使标准差最小，每一个人出的钱  必须接近平均值。 

• 那就分两种情况：
  1. 第 i 人带的钱不够平均数 avg，那么他只能出他带的全部钱。
  2. 第 i 人带的钱比平均数 avg 多，那么他可以多付一些。 
• 所以基本步骤为：
  1. 对  从小到大排序。
  2. 前一部分人的钱不够，那么就出他们所有的钱。
  3. 从总付钱数中扣除前一部分人出的钱，得剩余需要出的钱数为S’，以及剩余的后一部分人的出钱平均数 avg’。
  4. 后一部分人的钱多，他们多出一些。怎么出？这部分人也分两类：
     • 比较有钱的，但是他的钱也不够avg’，那么他的钱还是要全出。
     • 非常有钱的，不管怎么付他都有富余。

三、代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long a[500010];

int main() {
	int n;
	long long s;
	cin >> n >> s;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> a[i];
	}
    //开始贪心选择
	sort(a, a + n); //排序，从小到大
	double avg = 1.0 * s / n;
	double sum = 0.0;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (a[i] * (n - i) < s) { //把钱全拿出的人
			sum += (a[i] - avg) * (a[i] - avg);
			s -= a[i]; //更新还差多少钱
		} else { //不需要把钱全拿出的人。剩下的人中，钱最少的人都可以达到cur_avg
			double cur_avg = 1.0 * s / (n - i); //注意这里的s是还差多少钱
			sum += (cur_avg - avg) * (cur_avg - avg) * (n - i); //如果这个人有钱付，那么后面的人一定也能付，所以直接乘后面的人数(n - i)即可
			break;
		}
	}
	printf("%.4f", sqrt(sum / n));

	return 0;
}

加油哦！ 如有错误和需要改进完善之处，欢迎大家纠正指教。