第三章冪函数指数函数及其图像3.1指数和幂概念的推广
第三章 幂函数 指数函数及其图像
在第一章我们学习了用计算器求诸如an，的数值，也就是说，至今我们所接触的数的运算，还仅限于+,-,?,?四则运算和乘方、开方．但在实际问题中遇到的数的运算，远不止这几种．本章将对数的运算作进一步扩充，最终能知道xy(x>0,x,y?R)是什么含义，这种运算有些什么性质，如何求它们的值，以及当y固定、x变化，或x固定、y变化时，它们的值的变化规律．
§3.1 指数和幂概念的推广
预备知识
?整数指数幂及其运算性质
?数的开方
重点
?指数概念的推广
?幂的运算性质及其应用
难点
?对指数概念推广的理解
学习要求
?理解指数概念的推广
?熟练掌握幂的运算性质，并能正确地进行运算
?会用计算器求的值
在第一章数的运算中，我们学习了对诸如, 类型的运算，如何用计算器计算它们的值．本节将在此基础上，对上述类型的运算进行总结，并推广指数的概念，最终得出实数指数幂的意义及其运算性质．
1. 整数次幂
在初中时，你已经学习了整数指数幂，它的意义是
an=a? a? … ? a，(n?N+)；
a0=1, (a?0)；
a- n=, (a?0, n?N+)．
整数指数幂有下列性质：
(1)am?an=am+n, (a?0,m, n?Z)；
(2)(an)m=am?n, (a?0,m,n?Z)；
(3)(a?b)m=am?bm, (a?0, b?0,m?Z)．
例如 (0.4)0=1， (a-b)0=1,(a?b)， 10-2=()2=0.01，
()3=(-2)3=-8， (2x)-2=()2=,(x?0)．
课内练习1
1. 填空：
(1) ()0= ；(2)- ()0= ；(3)10-3= ；
(4)(0.1)-2= ；(5)()3= ； (6)(1)-2= ．
2. 有理指数幂
(1)方根的概念和性质
在初中时，你也学习了方根的概念，例如因为34=81，所以称3为81的4次方根，记作3=．
一般地，若一个数x的n次方等于a，即xn=a (n>1,n?N)，则称x为a的n次方根．
一个数a的n次方根的下列规则，是必须知道的：
①一个正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为和-(n为偶数)．例如，因为(-2)4=16, 24=16，所以16的4次方根有两个，一个是-2，另一个是2．
②因为任何一个实数的偶次方不可能是负数，所以负数的偶次方根是没有意义的．
③一个正数的奇次方根是正数，一个负数的奇次方根是负数，因此当n为奇数时，a的n次方根都可以表示为．例如因为(-2)5=-32，所以-2是-32的5次方根，即=-2；因为43=64，所以4是64的3次方根，即=4．
④因为0的n(n?0)次方还是0，而任何非零数的n次方不可能是0，所以0的n(n?0)次方根为0，即=0．
课内练习2
1. 填空
(1)128的6次方根是 ；(2)-243的5次方根是 ；
(3)0的4次方根是 ．
当有意义时(请你思考一下它的含义)，称它为n次根式，称n为根指数，且此时有()n=a．今后若无特别说明，我们写总认为已经是有意义的了．
一个正数a的正n次方根，称为a的n次算术根．因为正数的奇次方根总是正数，因此正数a的n次算术根与a的n次方根是同一回事；但一个正数a的偶次方根有两个?，此时a的n次算术根特指+，-只是a的n次方根之一，而不是a的n次算术根．
(2)有理指数幂
现在请你看下面的例子．
我们已经知道()3=a (1)
你虽然还不知道是什么意义，但形式地应用幂的运算性质，应该有
()3=a (2)
比较(1)(2)，很自然地可以认为=．
同样，因为()4=a，形式地应用幂的运算性质，又有()4=a，也很自然地可以认为=．
把特殊的数3,4所呈现这种规律，推广到一般正数n,m的情况，也自然地可以规定
=，=, (n, m?N+, 且为既约分数) (3-1-1)
这样，我们就把整数指数幂的概念推广到了分数指数幂．
至于