惯性导航（IMU）误差分析
一、姿态误差分析
1.写出不考虑误差时的微分方程
以“东-北-天(E-N-U)”坐标系为导航坐标系(n系)“右-前-上”坐标系为(b系)时，姿态微分方程可以表示为
C
˙
b
n
=
C
b
n
(
ω
n
b
b
×
)
\dot{C}_b^n =C_b^n (\omega ^b_{nb}\times)
C
˙
b
n
=
C
b
n
(
ω
n
b
b
×
)
当考虑地球自转角速度时，
ω
n
b
b
\omega ^b_{nb}
ω
n
b
b
不易直接测量，因此上面的微分方程可以拆解为:
其中
ω
i
n
n
\omega ^n_{in}
ω
i
n
n
表示导航系(n系)相对于惯性系(i系)的旋转，它包含地球自转和导航系相对于地球的旋转，其表达式为:
ω
i
n
n
=
ω
i
e
n
+
ω
e
n
n
\omega ^n_{in}=\omega ^n_{ie}+\omega ^n_{en}
ω
i
n
n
=
ω
i
e
n
+
ω
e
n
n
2.写出考虑误差时的微分方程
C
~
b
n
˙
=
C
~
b
n
(
ω
i
b
n
×
)
−
(
ω
i
n
n
×
)
C
~
b
n
\dot{\tilde{C}_b^n}=\tilde{C}_b^n(\omega ^n_{ib}\times)-(\omega ^n_{in}\times)\tilde{C}_b^n
C
~
b
n
˙
=
C
~
b
n
(
ω
i
b
n
×
)
−
(
ω
i
n
n
×
)
C
~
b
n
3.写出真实值与理想值之间的关系
(1)姿态误差的引入
理想情况下，从载体坐标系（b 系）到导航坐标系（n 系）的捷联惯导姿态矩阵为
C
b
n
C_b^n
C
b
n
，而姿态计算时会有误差，一般假设误差在n 系上。有误差的导航坐标系称为计算导航坐标系，简记为
n
′
{n}’
n
′
系。此时有误差的姿态矩阵表示为:
C
b
n
~
=
C
b
n
′
=
C
n
n
′
C
b
n
\tilde{C^n_b}=C_b^{
{n}’}=C_n^{
{n}’}C_b^n
C
b
n
~
=
C
b
n
′
=
C
n
n
′
C
b
n
以n系作为参考坐标系，记从 n 系至
n
′
n’
n
′
系的等效旋转矢量为 (其3个元素也被称作失准角)，当它为小量时，根据等效旋转矢量与方向余弦阵关系式:
C
n
n
′
≈
I
−
(
ϕ
×
)
C_n^{n’} \approx I-(\phi \times )
C
n
n
′
≈
I
−
(
ϕ
×
)
此时有误差的姿态矩阵表示为:
C
b
n
~
=
[
I
−
(
ϕ
×
)
]
C
b
n
\tilde{C_b^n}=[I-(\phi \times )]C_b^n
C
b
n
~
=
[
I
−
(
ϕ
×
)
]
C
b
n
(2)imu角速度误差的引入
含误差的imu角速度可以表示为：
ω
i
b
b
~
=
ω
i
b
b
+
δ
ω
i
b
b
\tilde{\omega ^b_{ib}}=\omega ^b_{ib}+\delta \omega ^b_{ib}
ω
i
b
b
~
=
ω
i
b
b
+
δ
ω
i
b
b
严格来讲，
δ
ω
i
b
b
\delta \omega ^b_{ib}
δ
ω
i
b
b
包含了imu内参相关的所有误差，而在实际中，会根据任务需求进行化简，只取一部分变量。
(3)关联误差的引入
其中：
在实际使用时，这两项角速度误差均忽略不计，理由如下：
a.在中等精度及以下的惯性导航中，这两项角速度误差相比于器件误差，量级太小，没有考虑的必要。
b.在组合导航中，速度误差和位置误差一直被修正，会使他们的量级进一步减小。
4.把真实值与理想值之间的关系，带入误差时的微分方程
带误差的微分方程为:
带误差的变量为:
把这三个带误差的量带入微分方程可得:
5.把第一步中不考虑误差时的微分方程带入第四步方程
6.简化方程
上式两边同时右乘
C
n
b
C_n^b
C
n
b
，可得:
上式可以写为:
展开并忽略其中的二阶小项，可得:
又有定理：
所以姿态误差方程可以重新写为：
因此有姿态误差方程为：
二、速度误差分析
三、位置误差分析
