0 笔记说明
参考书籍为：
本篇博客是关于书中第八章的内容，下面开始即为正文。
1 书本内容
1.1 广义逆矩阵
1、
rank(A)≤rank(A
–
)
：因为rank(A)=rank(AA
–
A)≤rank(AA
–
)≤rank(A
–
)。
2、
减号逆的性质
：设A∈C
m×n
，λ∈R则：
(1) (A
T
)
–
=(A
–
)
T
，(A
H
)
–
=(A
–
)
H
；
(2) 若m=n，且rank(A)=n时，有A
–
=A
-1
，且此时A
–
唯一；
(3) (λA)
–
=λ
+
A
–
，其中λ∈R，λ
+
为：
(4) 设S∈C
m×m
，rank(S)=m，T∈C
n×n
，rank(T)=n，且B=SAT，则(SAT)
–
=T
-1
A
–
S
-1
。
1.2 伪逆矩阵
1、
伪逆矩阵A
+
唯一
：证明：设X、Y都是A的伪逆矩阵，即X，Y都满足Penrose方程的四个等式，所以X=XAX=XAYAX=X(AY)
H
(АХ)
H
=X(AXAY)
H
=X(AY)
H
=XAY=XAYAY=(XA)
H
(YA)
H
Y=(YAXA)
H
Y=(YA)
H
Y=YAY=Y，证毕。
2、
加号逆的性质
：设A∈C
m×n
，λ∈R则：
(1) (A
T
)
+
=(A
+
)
T
，(A
H
)
+
=(A
+
)
H
；
(2) 若m=n，且rank(A)=n时，有A
+
=A
-1
；
(3) (λA)
+
=λ
+
A
+
，其中λ∈R，λ
+
为：
(4) 设S∈C
m×m
，rank(S)=m，T∈C
n×n
，rank(T)=n，且B=SAT，则(SAT)
+
=T
-1
A
+
S
-1
；
(5) (A
+
)
+
=A；
(6) (AA
H
)
+
=(A
H
)
+
A
+
=(A
+
)
H
A
+
，(A
H
A)
+
=A
+
(A
H
)
+
=A
+
(A
+
)
H
；
(7) A
+
=A
H
(AA
H
)
+
=(A
H
A)
+
A
H
。证明过程：A
+
=A
+
AA
+
=(A
+
A)
H
A
+
=A
H
(A
+
)
H
A
+
=A
H
(AA
H
)
+
，A
+
=A
+
AA
+
=A
+
(AA
+
)
H
=A
+
(A
+
)
H
A
H
=(A
H
A)
+
A
H
，证毕。
3、
对角矩阵的加号逆
：若A=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)，则A
+
=diag(μ
1
,μ
2
,…,μ
n
)，其中μ
i
为：① λ
i
≠0时，μ
i
=λ
i
-1
；② λ
i
=0时，μ
i
=0。
1.3 广义逆与线性方程组
1、
相容方程组的最小模解
：相容方程组在一般情况下解是不唯一的，在这些解中，方程组的最小模解(或称最小范数解)在实际应用中是十分有用的。称相容方程组Ax=b的所有解x中模(2-范数)最小的解是Ax=b的最小模解，其中x的2-范数是||x||=sqrt(x
H
x)。设B是A∈C
m×n
的一个广义逆矩阵，则下列两个命题是等价的：
(1) 对于任给b∈R(A)，则x=Bb一定是Ax=b的最小模解；
(2) (BA)
H
=BA。
2 听课笔记
2.1 广义逆矩阵
1、
矩阵的逆
：若A∈C
n×n
，且A为可逆矩阵，则：
① AA
-1
A=A；
② A
-1
AA
-1
=A
-1
；
③ (AA
-1
)
H
=AA
-1
；
④ (A
-1
A)
H
=A
-1
A。
2、
Penrose方程
：若A∈C
m×n
，以下矩阵方程称为Penrose方程：
① AXA=A；
② XAX=X；
③ (AX)
H
=AX；
④ (XA)
H
=XA。
满足Penrose方程中一个或多个的X∈C
n×m
称为A的一种广义逆矩阵，其中满足①的广义逆矩阵称为减号逆，记为A
–
，满足①②③④的广义逆矩阵称为加号逆，记为A
+
。教材上称减号逆A
–
为广义逆，称加号逆A
+
为伪逆。
3、
减号逆存在定理
：A∈C
m×n
，则减号逆A
–
一定存在，且不唯一。证明过程如下：
4、
减号逆的求解
：A∈C
m×n
，则：
举个栗子：矩阵A为：
而：
故矩阵P、Q为：
则：
5、
矩阵的左逆与右逆
：设A∈C
m×n
：
（1）若存在矩阵B∈C
n×m
，使得BA=Ⅰ
n
，则称B是A的左逆，记A
L
-1
=B，称A左可逆；
（2）若存在矩阵B∈C
n×m
，使得AB=Ⅰ
m
，则称B是A的右逆，记A
R
-1
=B，称A右可逆；
（3）若A是满秩方阵，则A
-1
=A
L
-1
=A
R
-1
。
2.2 伪逆矩阵
1、
列满秩矩阵存在左逆
：设A∈C
m×n
，rank(A)=n，即A是列满秩矩阵，则A存在左逆，A
L
-1
=(A
H
A)
-1
A
H
。证明过程如下：
2、
行满秩矩阵存在右逆
：设A∈C
m×n
，rank(A)=m，即A是行满秩矩阵，则A存在右逆，A
R
-1
=A
H
(AA
H
)
-1
。证明过程如下：
3、
加号逆存在定理
：设A∈C
m×n
，A=BC是A的一个满秩分解，其中B为列满秩矩阵，则B存在左逆，且B
L
-1
=(B
H
B)
-1
B
H
，C为行满秩矩阵，则C存在右逆，且C
R
-1
=C
H
(CC
H
)
-1
，则X=C
R
-1
·B
L
-1
=C
H
(CC
H
)
-1
(B
H
B)
-1
B
H
是A的加号逆A
+
，也称为伪逆矩阵。
2.3 广义逆与线性方程组
1、
相容非齐次线性方程组解的结构
：A∈C
m×n
，若Ax=b有解，则通解为x=A
–
b+(Ⅰ
n
-A
–
A)·t，其中Ⅰ
n
是n阶单位阵，t∈C
n
。显然Ax=b的通解等于Ax=0的通解加上Ax=b的一个特解。而x=A
–
b为Ax=b的一个特解，x=(Ⅰ
n
-A
–
A)·t为Ax=0的通解，代入验证确实是这样。
2、
非齐次线性方程组的相容性
：A∈C
m×n
，Ax=b有解⇔b=AA
–
b。证明过程如下：
3、
最小二乘解的通解
：A∈C
m×n
，b∈C
m
，则Ax=b的最小二乘解的通解为x=A
+
b+(Ⅰ
n
-A
+
A)·t，其中Ⅰ
n
是n阶单位阵，t∈C
n
。
END