矩阵连乘问题
问题：
给定n个矩阵｛A1,A2,…,An｝，其中Ai与Ai+1 是可乘的，i=1，2…，n-1。
如何确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。
1、按设计动态规划算法的步骤解题。
(1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
(2)递归地定义最优值。
(3)以自底向上的方式计算出最优值。
(4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解(由子结构的最优解得到原先大问题的最优解)。
2、求算法的时间复杂性，和空间复杂性
3、体会动态规划和穷举法在解决该问题中的本质差异。
问题辅助分析：
（1）问题的描述
给定n个矩阵{A1,A2,…,An}，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要算出这n个矩阵的连乘积A1A2…An。由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。
完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：
（1）单个矩阵是完全加括号的；
（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)。
例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：（A1（A2（A3A4））），（A1（（A2A3）A4）），（（A1A2）（A3A4）），（（A1（A2A3））A4），（（（A1A2）A3）A4）。
每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。
若A是一个p×q矩阵，B是一个q×r矩阵，则计算其乘积C=AB的标准算法中，需要进行pqr次数乘。
(2）算法设计思想
动态规划算法的基本思想是将待求解问题分成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，动态规划法经分解得到的子问题往往不是相互独立的，前一子问题的解为后一子问题的解提供有用的信息，可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案，不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。
代码：
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<memory.h>
using namespace std;
//求出矩阵A[i:j]的最少数乘次数m[i][j]，和记录矩阵A[i:j]此时的断开位置s[i][j]
//p为输入的矩阵的行数或列数。n为矩阵个数。m[i][j]为矩阵A[i:j]最少乘法次数。 s[i][j]为当最少乘法次数时，记录此时的断开位置（即加括号的位置）
void MatrixChain(int *p,int n,int m[][100],int s[][100])
{
for (int i = 1; i <= n; i++) m[i][i] = 0; //初始化单个矩阵的乘法次数都为0次。使用矩阵的下标从1，1开始
for (int r = 2; r <= n; r++) //r为矩阵连乘的长度，即矩阵个数
for (int i = 1; i <= n - r+1; i++) { //i为矩阵连乘的起点
int j=i+r-1; //j为矩阵连乘的终点
m[i][j] = m[i][i]+ m[i+1][j]+ p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j] = i;
for (int k = i+1; k < j; k++) { //找出更优的乘法次数
int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
if (t < m[i][j]) { m[i][j] = t; s[i][j] = k;}
}
}
}
//利用断开位置s[i][j]输出矩阵A[i:j]的最优加括号方式
void print_optimal(int s[100][100], int i ,int j, int a[])
{
if(i==j) cout<<" A["<<a[i-1]<<","<<a[i]<<"]";
else{
cout<<" ( ";
print_optimal(s,i,s[i][j],a);
print_optimal(s,s[i][j]+1,j,a);
cout<<" ) ";
}
}
void print_matrix(int p[][100],int n)
{
for(int i=1;i<n+1;i++)
{
for(int j=1;j<n+1;j++)
{
cout<<setw(8)<<p[i][j];
}
cout<<endl;
}
}
int main()
{
int n,k;
int array[100],m[100][100],s[100][100];
memset(array,0,sizeof(array));
memset(m,0,sizeof(m));
memset(s,0,sizeof(s));
while(true)
{
cout<<endl<<"请输入矩阵的个数:(输入小于0结束程序)"<<endl;
cin>>n;
if (n<0)
break;
cout<<"请输入 "<<n+1<<" 个整数，分别是各个矩阵的行列数"<<endl;
for(k=0;k<n+1;k++)
{
cin>>array[k];
}
cout<<endl;
MatrixChain(array,n,m,s);
cout<<"m矩阵"<<endl;
print_matrix(m,n);
cout<<"s矩阵"<<endl;
print_matrix(s,n);
cout<<"最优的运算方式的乘法次数为:"<<m[1][n]<<endl;
cout<<"加括号的方式为"<<endl;
print_optimal(s,1,n,array);
cout<<endl;
}
}
运行截图
