学算法认准
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读完本文，可以去力扣解决如下题目：
121.买卖股票的最佳时机（简单）
122.买卖股票的最佳时机 II（简单）
123.买卖股票的最佳时机 III（困难）
188.买卖股票的最佳时机 IV（困难）
309.最佳买卖股票时机含冷冻期（中等）
714.买卖股票的最佳时机含手续费（中等）
很多读者抱怨 LeetCode 的股票系列问题奇技淫巧太多，如果面试真的遇到这类问题，基本不会想到那些巧妙的办法，怎么办？
所以本文拒绝奇技淫巧，而是稳扎稳打，只用一种通用方法解决所用问题，以不变应万变
。
这篇文章参考英文版高赞题解（文末原文链接）的思路，用状态机的技巧来解决，可以全部提交通过。不要觉得这个名词高大上，文学词汇而已，实际上就是 DP table，看一眼就明白了。
先随便抽出一道题，看看别人的解法：
int maxProfit(vector<int>& prices) {
if(prices.empty()) return 0;
int s1 = -prices[0], s2 = INT_MIN, s3 = INT_MIN, s4 = INT_MIN;
for(int i = 1; i < prices.size(); ++i) {
s1 = max(s1, -prices[i]);
s2 = max(s2, s1 + prices[i]);
s3 = max(s3, s2 - prices[i]);
s4 = max(s4, s3 + prices[i]);
}
return max(0, s4);
}能看懂吧？会做了吗？不可能的，你看不懂，这才正常。就算你勉强看懂了，下一个问题你还是做不出来。为什么别人能写出这么诡异却又高效的解法呢？因为这类问题是有框架的，但是人家不会告诉你的，因为一旦告诉你，你五分钟就学会了，该算法题就不再神秘，变得不堪一击了。
本文就来告诉你这个框架，然后带着你一道一道秒杀。这篇文章用状态机的技巧来解决，可以全部提交通过。不要觉得这个名词高大上，文学词汇而已，实际上就是 DP table，看一眼就明白了。
这 6 道题目是有共性的，我就抽出来第 4 道题目，因为这道题是一个最泛化的形式，其他的问题都是这个形式的简化，看下题目：
第一题是只进行一次交易，相当于
k = 1
；第二题是不限交易次数，相当于
k = +infinity
（正无穷）；第三题是只进行 2 次交易，相当于
k = 2
；剩下两道也是不限次数，但是加了交易「冷冻期」和「手续费」的额外条件，其实就是第二题的变种，都很容易处理。
如果你还不熟悉题目，可以去 LeetCode 查看这些题目的内容，本文为了节省篇幅，就不列举这些题目的具体内容了。下面言归正传，开始解题。
一、穷举框架
首先，还是一样的思路：如何穷举？
动态规划核心套路
说过，动态规划算法本质上就是穷举「状态」，然后在「选择」中选择最优解。
那么对于这道题，我们具体到每一天，看看总共有几种可能的「状态」，再找出每个「状态」对应的「选择」。我们要穷举所有「状态」，穷举的目的是根据对应的「选择」更新状态。听起来抽象，你只要记住「状态」和「选择」两个词就行，下面实操一下就很容易明白了。
for 状态1 in 状态1的所有取值：
for 状态2 in 状态2的所有取值：
for ...
dp[状态1][状态2][...] = 择优(选择1，选择2...)
比如说这个问题，
每天都有三种「选择」
：买入、卖出、无操作，我们用
buy
,
sell
,
rest
表示这三种选择。
但问题是，并不是每天都可以任意选择这三种选择的，因为
sell
必须在
buy
之后，
buy
必须在
sell
之后。那么
rest
操作还应该分两种状态，一种是
buy
之后的
rest
（持有了股票），一种是
sell
之后的
rest
（没有持有股票）。而且别忘了，我们还有交易次数
k
的限制，就是说你
buy
还只能在
k > 0
的前提下操作。
很复杂对吧，不要怕，我们现在的目的只是穷举，你有再多的状态，老夫要做的就是一把梭全部列举出来。
这个问题的「状态」有三个
，第一个是天数，第二个是允许交易的最大次数，第三个是当前的持有状态（即之前说的
rest
的状态，我们不妨用 1 表示持有，0 表示没有持有）。然后我们用一个三维数组就可以装下这几种状态的全部组合：
dp[i][k][0 or 1]
0 <= i <= n - 1, 1 <= k <= K
n 为天数，大 K 为交易数的上限，0 和 1 代表是否持有股票。
此问题共 n × K × 2 种状态，全部穷举就能搞定。
for 0 <= i < n:
for 1 <= k <= K:
for s in {0, 1}:
dp[i][k][s] = max(buy, sell, rest)
而且我们可以用自然语言描述出每一个状态的含义，比如说
dp[3][2][1]
的含义就是：今天是第三天，我现在手上持有着股票，至今最多进行 2 次交易。再比如
dp[2][3][0]
的含义：今天是第二天，我现在手上没有持有股票，至今最多进行 3 次交易。很容易理解，对吧？
我们想求的最终答案是
dp[n - 1][K][0]
，即最后一天，最多允许
K
次交易，最多获得多少利润。
读者可能问为什么不是
dp[n - 1][K][1]
？因为
dp[n - 1][K][1]
代表到最后一天手上还持有股票，
dp[n - 1][K][0]
表示最后一天手上的股票已经卖出去了，很显然后者得到的利润一定大于前者。
记住如何解释「状态」，一旦你觉得哪里不好理解，把它翻译成自然语言就容易理解了。
二、状态转移框架
现在，我们完成了「状态」的穷举，我们开始思考每种「状态」有哪些「选择」，应该如何更新「状态」。
只看「持有状态」，可以画个状态转移图：
通过这个图可以很清楚地看到，每种状态（0 和 1）是如何转移而来的。根据这个图，我们来写一下状态转移方程：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
max( 今天选择 rest, 今天选择 sell )解释：今天我没有持有股票，有两种可能，我从这两种可能中求最大利润：
1、我昨天就没有持有，且截至昨天最大交易次数限制为
k
；然后我今天选择
rest
，所以我今天还是没有持有，最大交易次数限制依然为
k
。
2、我昨天持有股票，且截至昨天最大交易次数限制为
k
；但是今天我
sell
了，所以我今天没有持有股票了，最大交易次数限制依然为
k
。
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
max( 今天选择 rest, 今天选择 buy )
解释：今天我持有着股票，最大交易次数限制为
k
，那么对于昨天来说，有两种可能，我从这两种可能中求最大利润：
1、我昨天就持有着股票，且截至昨天最大交易次数限制为
k
；然后今天选择
rest
，所以我今天还持有着股票，最大交易次数限制依然为
k
。
2、我昨天本没有持有，且截至昨天最大交易次数限制为
k - 1
；但今天我选择
buy
，所以今天我就持有股票了，最大交易次数限制为
k
。
这里着重提醒一下，时刻牢记「状态」的定义，
k
的定义并不是「已进行的交易次数」，而是「最大交易次数的上限限制」。如果确定今天进行一次交易，且要保证截至今天最大交易次数上限为
k
，那么昨天的最大交易次数上限必须是
k - 1
。
这个解释应该很清楚了，如果
buy
，就要从利润中减去
prices[i]
，如果
sell
，就要给利润增加
prices[i]
。今天的最大利润就是这两种可能选择中较大的那个。
注意
k
的限制，在选择
buy
的时候相当于开启了一次交易，那么对于昨天来说，交易次数的上限
k
应该减小 1。
修正：以前我以为在
sell
的时候给
k
减小 1 和在
buy
的时候给
k
减小 1 是等效的，但细心的读者向我提出质疑，经过深入思考我发现前者确实是错误的，因为交易是从
buy
开始，如果
buy
的选择不改变交易次数
k
的约束，会出现交易次数超出限制的的错误。
现在，我们已经完成了动态规划中最困难的一步：状态转移方程。
如果之前的内容你都可以理解，那么你已经可以秒杀所有问题了，只要套这个框架就行了
。不过还差最后一点点，就是定义 base case，即最简单的情况。
dp[-1][...][0] = 0
解释：因为 i 是从 0 开始的，所以 i = -1 意味着还没有开始，这时候的利润当然是 0。
dp[-1][...][1] = -infinity
解释：还没开始的时候，是不可能持有股票的。
因为我们的算法要求一个最大值，所以初始值设为一个最小值，方便取最大值。
dp[...][0][0] = 0
解释：因为 k 是从 1 开始的，所以 k = 0 意味着根本不允许交易，这时候利润当然是 0。
dp[...][0][1] = -infinity
解释：不允许交易的情况下，是不可能持有股票的。
因为我们的算法要求一个最大值，所以初始值设为一个最小值，方便取最大值。把上面的状态转移方程总结一下：
base case：
dp[-1][...][0] = dp[...][0][0] = 0
dp[-1][...][1] = dp[...][0][1] = -infinity
状态转移方程：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])读者可能会问，这个数组索引是 -1 怎么编程表示出来呢，负无穷怎么表示呢？这都是细节问题，有很多方法实现。现在完整的框架已经完成，下面开始具体化。
三、秒杀题目
第一题，k = 1
直接套状态转移方程，根据 base case，可以做一些化简：
dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], dp[i-1][0][0] - prices[i])
= max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
解释：k = 0 的 base case，所以 dp[i-1][0][0] = 0。
现在发现 k 都是 1，不会改变，即 k 对状态转移已经没有影响了。
可以进行进一步化简去掉所有 k：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])直接写出代码：
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
}
return dp[n - 1][0];
显然
i = 0
时
i - 1
是不合法的索引，这是因为我们没有对
i
的 base case 进行处理，可以这样给一个特化处理：
if (i - 1 == -1) {
dp[i][0] = 0;
// 根据状态转移方程可得：
// dp[i][0]
// = max(dp[-1][0], dp[-1][1] + prices[i])
// = max(0, -infinity + prices[i]) = 0
dp[i][1] = -prices[i];
// 根据状态转移方程可得：
// dp[i][1]
// = max(dp[-1][1], dp[-1][0] - prices[i])
// = max(-infinity, 0 - prices[i])
// = -prices[i]
continue;
}
第一题就解决了，但是这样处理 base case 很麻烦，而且注意一下状态转移方程，新状态只和相邻的一个状态有关，其实不用整个
dp
数组，只需要一个变量储存相邻的那个状态就足够了，这样可以把空间复杂度降到 O(1):
// 原始版本
int maxProfit_k_1(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i - 1 == -1) {
// base case
dp[i][0] = 0;
dp[i][1] = -prices[i];
continue;
}
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
}
return dp[n - 1][0];
}
// 空间复杂度优化版本
int maxProfit_k_1(int[] prices) {
int n = prices.length;
// base case: dp[-1][0] = 0, dp[-1][1] = -infinity
int dp_i_0 = 0, dp_i_1 = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp_i_0 = Math.max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i]);
// dp[i][1] = max(dp[i-1][1], -prices[i])
dp_i_1 = Math.max(dp_i_1, -prices[i]);
}
return dp_i_0;
}
两种方式都是一样的，不过这种编程方法简洁很多，但是如果没有前面状态转移方程的引导，是肯定看不懂的。后续的题目，你可以对比一下如何把
dp
数组的空间优化掉。
第二题，k = +infinity
如果
k
为正无穷，那么就可以认为
k
和
k - 1
是一样的。可以这样改写框架：
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])
= max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k][0] - prices[i])
我们发现数组中的 k 已经不会改变了，也就是说不需要记录 k 这个状态了：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i])直接翻译成代码：
// 原始版本
int maxProfit_k_inf(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i - 1 == -1) {
// base case
dp[i][0] = 0;
dp[i][1] = -prices[i];
continue;
}
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i]);
}
return dp[n - 1][0];
}
// 空间复杂度优化版本
int maxProfit_k_inf(int[] prices) {
int n = prices.length;
int dp_i_0 = 0, dp_i_1 = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int temp = dp_i_0;
dp_i_0 = Math.max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i]);
dp_i_1 = Math.max(dp_i_1, temp - prices[i]);
}
return dp_i_0;
}
第三题，k = +infinity with cooldown
每次
sell
之后要等一天才能继续交易。只要把这个特点融入上一题的状态转移方程即可：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-2][0] - prices[i])
解释：第 i 天选择 buy 的时候，要从 i-2 的状态转移，而不是 i-1 。翻译成代码：
// 原始版本
int maxProfit_with_cool(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i - 1 == -1) {
// base case 1
dp[i][0] = 0;
dp[i][1] = -prices[i];
continue;
}
if (i - 2 == -1) {
// base case 2
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
// i - 2 小于 0 时根据状态转移方程推出对应 base case
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
// dp[i][1]
// = max(dp[i-1][1], dp[-1][0] - prices[i])
// = max(dp[i-1][1], 0 - prices[i])
// = max(dp[i-1][1], -prices[i])
continue;
}
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-2][0] - prices[i]);
}
return dp[n - 1][0];
}
// 空间复杂度优化版本
int maxProfit_with_cool(int[] prices) {
int n = prices.length;
int dp_i_0 = 0, dp_i_1 = Integer.MIN_VALUE;
int dp_pre_0 = 0; // 代表 dp[i-2][0]
for (int i = 0; i < n; i++) {
int temp = dp_i_0;
dp_i_0 = Math.max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i]);
dp_i_1 = Math.max(dp_i_1, dp_pre_0 - prices[i]);
dp_pre_0 = temp;
}
return dp_i_0;
}
第四题，k = +infinity with fee
每次交易要支付手续费，只要把手续费从利润中减去即可。改写方程：
dp[i][0] = max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i])
dp[i][1] = max(dp[i-1][1], dp[i-1][0] - prices[i] - fee)
解释：相当于买入股票的价格升高了。
在第一个式子里减也是一样的，相当于卖出股票的价格减小了。如果直接把
fee
放在第一个式子里减，会有测试用例无法通过，错误原因是整型溢出而不是思路问题。一种解决方案是把代码中的
int
类型都改成
long
类型，避免
int
的整型溢出。
直接翻译成代码，注意状态转移方程改变后 base case 也要做出对应改变：
// 原始版本
int maxProfit_with_fee(int[] prices, int fee) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i - 1 == -1) {
// base case
dp[i][0] = 0;
dp[i][1] = -prices[i] - fee;
// dp[i][1]
// = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee)
// = max(dp[-1][1], dp[-1][0] - prices[i] - fee)
// = max(-inf, 0 - prices[i] - fee)
// = -prices[i] - fee
continue;
}
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i] - fee);
}
return dp[n - 1][0];
}
// 空间复杂度优化版本
int maxProfit_with_fee(int[] prices, int fee) {
int n = prices.length;
int dp_i_0 = 0, dp_i_1 = Integer.MIN_VALUE;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int temp = dp_i_0;
dp_i_0 = Math.max(dp_i_0, dp_i_1 + prices[i]);
dp_i_1 = Math.max(dp_i_1, temp - prices[i] - fee);
}
return dp_i_0;
}
第五题，k = 2
k = 2
和前面题目的情况稍微不同，因为上面的情况都和
k
的关系不太大。要么
k
是正无穷，状态转移和
k
没关系了；要么
k = 1
，跟
k = 0
这个 base case 挨得近，最后也没有存在感。
这道题
k = 2
和后面要讲的
k
是任意正整数的情况中，对
k
的处理就凸显出来了。我们直接写代码，边写边分析原因。
原始的状态转移方程，没有可化简的地方
dp[i][k][0] = max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i])
dp[i][k][1] = max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i])按照之前的代码，我们可能想当然这样写代码（错误的）：
int k = 2;
int[][][] dp = new int[n][k + 1][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (i - 1 == -1) {
// 处理 base case
dp[i][k][0] = 0;
dp[i][k][1] = -prices[i];
continue;
}
dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);
dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);
}
return dp[n - 1][k][0];为什么错误？我这不是照着状态转移方程写的吗？
还记得前面总结的「穷举框架」吗？就是说我们必须穷举所有状态。其实我们之前的解法，都在穷举所有状态，只是之前的题目中
k
都被化简掉了。
比如说第一题，
k = 1
时的代码框架：
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i-1][0], dp[i-1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], -prices[i]);
}
return dp[n - 1][0];
但当
k = 2
时，由于没有消掉
k
的影响，所以必须要对
k
进行穷举：
// 原始版本
int maxProfit_k_2(int[] prices) {
int max_k = 2, n = prices.length;
int[][][] dp = new int[n][max_k + 1][2];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int k = max_k; k >= 1; k--) {
if (i - 1 == -1) {
// 处理 base case
dp[i][k][0] = 0;
dp[i][k][1] = -prices[i];
continue;
}
dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);
dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);
}
}
// 穷举了 n × max_k × 2 个状态，正确。
return dp[n - 1][max_k][0];
}
PS：这里肯定会有读者疑惑，
k
的 base case 是 0，按理说应该从
k = 1, k++
这样穷举状态
k
才对？而且如果你真的这样从小到大遍历
k
，提交发现也是可以的
。
这个疑问很正确，因为我们前文
动态规划答疑篇
有介绍
dp
数组的遍历顺序是怎么确定的，主要是根据 base case，以 base case 为起点，逐步向结果靠近。
但为什么我从大到小遍历
k
也可以正确提交呢？因为你注意看，
dp[i][k]
不会依赖
dp[i][k - 1]
，而是依赖
dp[i - 1][k - 1]
，对于
dp[i - 1][...]
，都是已经计算出来的。所以不管你是
k = max_k, k--
，还是
k = 1, k++
，都是可以得出正确答案的。
那为什么我使用
k = max_k, k--
的方式呢？因为这样符合语义。
你买股票，初始的「状态」是什么？应该是从第 0 天开始，而且还没有进行过买卖，所以最大交易次数限制
k
应该是
max_k
；而随着「状态」的推移，你会进行交易，那么交易次数上限
k
应该不断减少，这样一想，
k = max_k, k--
的方式是比较合乎实际场景的。
当然，这里
k
取值范围比较小，所以可以不用 for 循环，直接把 k = 1 和 2 的情况全部列举出来也可以：
// 状态转移方程：
// dp[i][2][0] = max(dp[i-1][2][0], dp[i-1][2][1] + prices[i])
// dp[i][2][1] = max(dp[i-1][2][1], dp[i-1][1][0] - prices[i])
// dp[i][1][0] = max(dp[i-1][1][0], dp[i-1][1][1] + prices[i])
// dp[i][1][1] = max(dp[i-1][1][1], -prices[i])
// 空间复杂度优化版本
int maxProfit_k_2(int[] prices) {
// base case
int dp_i10 = 0, dp_i11 = Integer.MIN_VALUE;
int dp_i20 = 0, dp_i21 = Integer.MIN_VALUE;
for (int price : prices) {
dp_i20 = Math.max(dp_i20, dp_i21 + price);
dp_i21 = Math.max(dp_i21, dp_i10 - price);
dp_i10 = Math.max(dp_i10, dp_i11 + price);
dp_i11 = Math.max(dp_i11, -price);
}
return dp_i20;
}
有状态转移方程和含义明确的变量名指导，相信你很容易看懂。其实我们可以故弄玄虚，把上述四个变量换成
a, b, c, d
。这样当别人看到你的代码时就会大惊失色，对你肃然起敬。
第六题，k = any integer
有了上一题
k = 2
的铺垫，这题应该和上一题的第一个解法没啥区别。但是出现了一个超内存的错误，原来是传入的
k
值会非常大，
dp
数组太大了。现在想想，交易次数
k
最多有多大呢？
一次交易由买入和卖出构成，至少需要两天。所以说有效的限制
k
应该不超过
n/2
，如果超过，就没有约束作用了，相当于
k = +infinity
。这种情况是之前解决过的。
直接把之前的代码重用：
int maxProfit_k_any(int max_k, int[] prices) {
int n = prices.length;
if (n <= 0) {
return 0;
}
if (max_k > n / 2) {
// 交易次数 k 没有限制的情况
return maxProfit_k_inf(prices);
}
// base case：
// dp[-1][...][0] = dp[...][0][0] = 0
// dp[-1][...][1] = dp[...][0][1] = -infinity
int[][][] dp = new int[n][max_k + 1][2];
// k = 0 时的 base case
for (int i = 0; i < n; i++) {
dp[i][0][1] = Integer.MIN_VALUE;
dp[i][0][0] = 0;
}
for (int i = 0; i < n; i++)
for (int k = max_k; k >= 1; k--) {
if (i - 1 == -1) {
// 处理 i = -1 时的 base case
dp[i][k][0] = 0;
dp[i][k][1] = -prices[i];
continue;
}
dp[i][k][0] = Math.max(dp[i-1][k][0], dp[i-1][k][1] + prices[i]);
dp[i][k][1] = Math.max(dp[i-1][k][1], dp[i-1][k-1][0] - prices[i]);
}
return dp[n - 1][max_k][0];
}至此，6 道题目通过一个状态转移方程全部解决。
四、最后总结
本文给大家讲了如何通过状态转移的方法解决复杂的问题，用一个状态转移方程秒杀了 6 道股票买卖问题，现在想想，其实也不算难对吧？这已经属于动态规划问题中较困难的了。
关键就在于列举出所有可能的「状态」，然后想想怎么穷举更新这些「状态」。一般用一个多维
dp
数组储存这些状态，从 base case 开始向后推进，推进到最后的状态，就是我们想要的答案。想想这个过程，你是不是有点理解「动态规划」这个名词的意义了呢？
具体到股票买卖问题，我们发现了三个状态，使用了一个三维数组，无非还是穷举 + 更新，不过我们可以说的高大上一点，这叫「三维 DP」，怕不怕？
这个大实话一说，立刻显得你高人一等，名利双收有没有，所以给个在看/分享吧，鼓励一下我。
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