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由浅入深剖析PID控制

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文章目录


前言


一、什么是PID控制


二、实例分析


1.比例控制


2.积分控制


3.积分控制的由来


总结


前言


控制系统的原理就是通过测量、比较和执行实现。测量的关键是被控变量的实际值与期望值相比较而得到的偏差，用这个偏差来纠正系统的响应，执行调节控制。PID控制作为最早实用化的的控制器已经有很长时间的历史。 由于PID控制简单易懂，使用中不需要精确的数学模型等先决条件，因而成为应用最为广泛的控制器。本文从一个控制示例出发，由浅入深分析PID各个环节的作用。


一、什么是PID控制


PID控制就是对偏差信号e(t)进行比例、积分和微分运算变换后得到的一种控制规律。


一般形式为：


u(t)=K_{p}*[e(t)+\frac{1}{T_{i}}\int_{0}^{\tau }e(t)d\tau+ T_{d}\frac{de(t)}{dt}]


也可写成：

u(t)=K_{p}*e(t)+K_{i}*\int_{0}^{\tau }e(t)d\tau +K_{d}*\frac{de(t)}{dt} \, \, \, \, \: \: \: \; \; \; \: (1-1)

e(t)=r(t)-x_{o}(t)

r(t)为控制期望，
x_{o}(t)
为系统输出

控制器设计的核心思想就是通过

输出

来控制

输入

，使得系统的输出与我们的期望相等。

将式（1-1）进行拉式变换得到控制器的传递函数为：

G_{c}(s)=K_{p}+K_{i}\frac{1}{s}+K_{d}s


二、实例分析

例：往一圆柱形水桶中加水，目标让水桶水位上升到期望高度，水桶自带漏水特性：水桶漏水流量与水位高度成正比（假设比例系数为K）。（水位高度可以观测）

假设水位上升速度为v,加水流量为u,桶底面积为M，漏水流量为x,水位高度为h。

v=\frac{u-x}{M}

x=K*h

整理上述两式得到系统的微分方程为：

K*h(t)+M*\dot{h}(t)=u(t)

进行拉式变换得：

K*h(s)+M*s*h(s)=u(s)

变换得到系统的传递函数：

G(s)=\frac{h(s)}{u(s)}=\frac{1}{M*s+K}

具体的控制系统框图为：

相应的,

[r(s)-x_{o}(s)]*G_{c}(s)*G(s)=x_{o}(s)

系统的闭环传递函数为：

\phi (s)=\frac{G_{c}(s)*G(s)}{1+G_{c}(s)*G(s)}

为了方便讨论，

目标水位（期望）r(t)=1,r(s)=1/s,

漏水系数K=0.1，桶底面积M=1


1.比例控制

使用比例控制，控制器的传递函数为：
G_{c}(s)=K_{p}

相应的闭环传递函数为，

\phi (s)=\frac{K_{p}}{M*s+K+K_{p}}

观察闭环传递函数的形式我们可以看出，使用比例控制其实改变了原系统传递函数的极点，极点由-k变为-（K+Kp）,极点向左移动

系统输出

x_{o}(s)=r(s)*\phi(s)=\frac{1}{s}*\frac{K_{p}}{M*s+K+K_{p}}

部分分式展开得，

x_{o}(s)=\frac{K_{p}}{K_{p}+K}*\frac{1}{s}-\frac{M*K_{p}}{K_{p}+K}*\frac{1}{M*s+K+K_{p}}

拉氏反变换得，

x_{o}(t)=\frac{K_{p}}{K+K_{p}}*e^{0t}-\frac{M*K_{p}}{K+K_{p}}*e^{-\frac{K+K_{p}}{M}t}

在Simulink中仿真，Kp=1

由曲线得出，稳定值为0.91与理论值相同

理论值：

\frac{K_{p}}{K_{p}+K}=\frac{1}{1+0.1}=0.909

由
x_{o}(t)
可知，

  1. 为了系统稳定，必须有K+Kp>0，且Kp越大，响应速度越快
  2. 使用比例控制无法消除稳态误差，
    \lim_{t\rightarrow \propto }x_{o}(t)=\frac{K_{p}}{K_{p}+K}
    ,Kp越大，稳态误差越小
  3. 可知稳态误差出现的原因是有漏水K，当K=0，系统无稳态误差。

2.积分控制

使用积分控制，控制器的传递函数为：
G_{c}(s)=K_{i}*\frac{1}{s}

闭环传递函数：

\phi(s)=\frac{K_{i}}{M*s^{2}+K*s+K_{i}}

对比
G(s)=\frac{1}{M*s+K}
与
\phi(s)
可以发现,加入积分控制实际上提高了控制系统的阶次，将原来的一阶系统变为二阶，相应的就拥有了二阶系统的一些特点。

系统输出，

x_{o}(s)=\phi (s)*r(s)=\frac{1}{s}*\frac{K_{i}}{M*s^{2}+K*s+K_{i}}

至此，针对该实例，使用积分控制的分析其实就是分析二阶系统的各种特性。

为了系统稳定，我们要保证闭环传递函数的极点在虚轴左侧（即极点的实部为负）

利用求根公式求极点：
P_{1}=\frac{-K+\sqrt{K^{2}-4*M*K_{i}}}{2*M}\: \: \, \, \, \, P_{2}=\frac{-K-\sqrt{K^{2}-4*M*K_{i}}}{2*M}

下面分情况讨论Ki的取值范围：

  1. K^{2}-4*M*K_{i}\leqslant 0
    ，可得
    K_{i}\geqslant \frac{K^{2}}{4*M}=0.0025
  2. 0< K^{2}-4*M*K_{i}\leqslant K^{2}
    ,可得，
    0\leqslant K_{i}< 0.0025

3.积分控制的由来

由比例控制得出：针对一阶系统的阶跃响应，使用比例控制会有稳态误差

下面讨论依然以一阶系统的阶跃响应为对象，对应的闭环传递函数为：

\phi(s)=\frac{G_{c}(s)}{M*s+K+G_{c}(s)}

由终值定理可知，（使用前提，设计的Gc(s)使系统稳定）

\lim_{t\rightarrow \propto }x_{o}(t)=\lim_{s\to 0}s*x_{o}(s)=\lim_{s\to 0}s*r(s)*\phi(s)=\lim_{s\to 0}\frac{r*G_{c}(s)}{M*s+K+G_{c}(s)}

整理得，

\lim_{t\rightarrow \propto }x_{o}(t)=\lim_{s\to 0}\frac{r}{\frac{M*s+K}{G_{c}(s)}+1}

所以想要消除稳态误差，只需要满足：

\lim_{s\to 0}\frac{K}{G_{c}(s)}=0

即，
\lim_{s\to 0}G_{c}(s)=\propto

易得，
G_{c}(s)=\frac{1}{s}

有时间再补。。。

总结


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