§7.4 数量积 向量积 混合积
一 两向量的数量积
1 向量的数量积定义
设物体在常力
的作用下沿直线从点
移到点
，用
表示位移向量
，力
在位移方向
上的分力大小为
，力
所作的功为：
抛开这一问题的物理背景，我们可以给出一般地向量的数量积定义：
设
是两向量，且它们之间的夹角为
，称数量
为向量
的数量积，并记作
，即
注明：
记号
又可称之为“
点乘
”。
据此定义，上例所求的功
实际上是力
与位移
的数量积，即
。
因
是
在向量
方向上的投影，若用
来记这个投影，便有：
类似有：
这表明：
两向量的数量积等于其中一向量的模与另一向量在该向量方向上的投影的乘积。
这一事实的力学意义是十分鲜明的。
2、数量积的性质
(1)、
事实上，
与
的夹角
， 故
(2)、设
，
为非零向量，若
，那么
与
垂直( 记作
)；反之，若
，那么
。
证明：
(3)、(交换律)
事实上，
(4)、(分配律)
事实上，
(5)、(数乘向量的结合律)
证明：
设向量
与
之间的夹角为
，
若
，
与
同方向，故
与
的夹角仍为
，于是
若
，
与
反方向， 故
与
的夹角仍为
， 于是
若
，
综合上述三点，有
成立。
类似地可证明
。
(6)、两向量数量积的坐标表示形式
设
，则有
证明：
注明
:基本单位向量有
利用向量数量积的计算公式，很容易地得到了下列
向量模计算公式
(7)、两向量间夹角余弦的坐标表示式
若
，
，由
，有
并且有
【例1】已知三点
，
和
，求向量
与
之间的夹角
。
解：
而
故
【例2】设液体流过平面
上面积为
的一个区域，液体在该区域上各点处的流速均为常向量
，设
为垂直于
的单位向量，计算单位时间内经过该区域流向
所指向一侧的液体重量
( 设液体的比重为
)。
解：
单位时间内流过区域的液体形成一个底面积为
，斜高为
的斜柱体， 且斜高与底面垂线的夹角即为向量
与
之间的夹角
。
所以，该斜柱体的高为
，即
在
方向上的投影。
斜柱体的体积为
从而，单位时间内经过区域流向所指一方的液体重量为
很明显，若
，即
垂直于平面
时，
这与我们直观的理解是一致的。
2、向量的数量积不具有结合律
一般情况下，
，因此，写法
是无意义的。
【反例】取
，
，
二 两向量的向量积
1、由力矩问题引入向量的向量积
设
为一根杠杆的支点，有一个力
作用于这杠杆上的点
处，
与
的夹角为
，由力学知识可知，力
对支点
的力矩是一个向量
，它的模为
而方向垂直于
与
所决定的平面，其指向依右手规则来决定，即当右手的四个手指从
以不超过
的转角转向
握拳时，大拇指的指向就是力矩
的指向。
这类物理问题所反映出的数学运算便是我们要定义的向量间的向量积。
【定义】设向量
由向量
与
依下列方式定出：
的模为
， 其中
为向量
与
之间的夹角；
的方向垂直于
与
所决定的平面，
的指向按右手规则从
转向(转角小于
)
来决定。
那么称向量
为向量
与
的
向量积
，记作
，即
。
向量的向量积又常称作向量的叉乘，
也常念作“
叉乘
”。
因此，上面的力矩
等于
与力
的向量积，即
。
2、向量积的性质
(1)、
(2)、对于非零向量
与
，
与
平行( 即
)的充要条件是
。
(3)、设
，
为两个非零向量，模
在几何上表示以
与
为边的平行四边形的面积。
(5)、分配律
(6)、设
，
为实数，则
(7)
、
向量积的坐标表示式
设
，
，则有
于是，有
为了便于记忆，我们引入形式化的三阶行列式的记法。
由向量的向量积坐标表示式，可给出两向量平行的充要条件的又一形式：
这一向量平行的对称式条件，当分母有为零的元素时，应依如下规则来理解它的意义：
(1)、当
中仅有一个为零时，如
则(1)式成为
因此， 此时(2)式
的意义应理解为
(2)、当
中仅有二个为零时，如
则(1)式成为
因此，此时(2)式
的意义应理解为
(3)、当
时
则(1)式对于任意实数
均成立
因此，此时(2)式
的意义为
可取任意实数。
【例3】已知三角形
的顶点是
，
和
，求此三角形的面积
。
解：
而
三 向量的混合积
1、平行六面体的体积
如图所示，以
，
和
为棱的平行六面体的体积
，
应为其底面积
乘以高
。
底面积为
，由于高
垂直于底面
，它可以看作向量
在垂直于底面的向量
上的投影
，体积值
为
2、向量混合积定义
设有三个向量
，
与
，先作
，将向量
与
作数量积
，这样得到的数量称作三向量
，
，
的混合积，并记作
。
于是，平行六面体的体积为
3、向量混合积的计算
设
，
，
，则
利用向量混合积的几何意义，我们可以得到一个十分有用的结论：
空间三向量
，
与
共面的充要条件是
。
§7.5 曲面及其方程
一 曲面方程的概念
空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。
为此，我们给出如下定义：
若曲面
与三元方程
(1)
有下述关系：
1、曲面
上任一点的坐标均满足方程(1)；
2、不在曲面
上的点的坐标都不满足方程(1)。
那么，方程(1)称作曲面
的方程，而曲面
称作方程(1)的图形。
下面，我们来建立几个常见的曲面方程。
【例1】 球心在点
，半径为
的球面方程。
解：设
是球面上的任一点，那么
，
即：
(2)
(2)式就是球面上任一点的坐标所满足的方程。
反过来，不在球面上的点
，
到
的距离
， 从而点
的坐标不适合于方程(2)。
故方程(2)就是以
为球心，
为半径的球面方程。
若球心在原点，即
，其球面方程为
【例2】设有点
和
，求线段
垂直平分面
的方程。
解：所求平面
是与
和
等距离的点的几何轨迹，设
是所求平面上任意的一点，则
即：
化简得
这便是平面
的方程。
上述两例告诉我们如下事实：
作为点的几何轨迹的曲面可以用它的坐标间的方程来表示，反过来，变量
之间的方程一般地表示点
的轨迹所形成的曲面。
因此，空间解析几何关于曲面的研究，有以下两个基本问题：
第一、已知曲面作为点的几何轨迹，建立该曲面的方程；
第二、已知坐标
的方程，研究该方程所表示的曲面形状。
二 旋转曲面
先看一个特殊的旋转曲面。
【例3】设有一条过原点，且与
轴夹角为
的直线
，求直线
绕
轴旋转所产生的曲面的方程。(
绕
轴旋转时，始终
与轴保持定角
)
解：设
开始位于
平面，
是
上一点，则
当
转动时，点
转到点
在
的转动过程中，点
的竖坐标满足
且点
到
轴的距离满足
从而
或
(3)
其中
。
这表明：曲面上任一点
的坐标一定满足方程(3)；反过来，如果
不在曲面上，那么直线
与
轴的夹角就不等于
，于是，点
的坐标就不满足方程(3)。因此，方程(3)便是所求的曲面方程。
上述曲面称之为
圆锥面
，动直线
与
轴的交点称之为圆锥面的
顶点
，定角称为圆锥面的
半顶角
。
一般地，我们给出
旋转曲面
的定义如下：
一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴。
显然，圆锥面是一种旋转曲面，求
平面上的直线
绕
轴旋转所成的圆维面，只需将
改成
，即可得到圆锥面的方程
用类似的方法，可求出一般旋转曲面的方程。
设在
平面上有一条已知曲线
，它的方程为
,将
绕
轴旋转一周，得到以
轴为轴的旋转曲面。
设
是
上任一点的坐标，则
,当点
旋转到点
时，总有
点
到
轴的距离为
将
，
代入方程
得到
这便是所要求的旋转曲面的方程。
同理，曲线
绕
轴旋转所成的旋转曲面方程为
【例4】将
面上的双曲线
分别绕
轴或
轴旋转一周， 求所生成的旋转曲面的方程
解：
或
三 柱面
先分析一个实例
【例5】方程
表示怎样的曲面?
解：
在
面上表示圆心在原点，半径为
的圆。
在空间直角坐标中，该方程不含变量
，即不论
取何值，只要横坐标
和纵坐标
适合方程的空间点
均在该曲面上。也就是说，过圆
上的点且平行于
轴的直线都在该曲面上。
因此，曲面是由平行于
轴的直线沿
面上的圆
移动而形成的。
这一曲面称作
圆柱面
。
面上的圆
称之为
准线
，那些平行于
轴且过准线的直线叫做
母线
。
一般地，我们给出柱面的定义如下：
平行于定直线并沿定曲线
移动的直线
形成的轨迹称之为柱面。 定曲线
称为柱面的准线， 动直线
称为柱面的母线。
【例6】指出下列曲面是否为柱面， 并画出它们的图形。
(1)
(2)
(3)
(4)
解：(1)、曲面
可看作：以
面上的直线
为准线，以平行于
轴的直线为母线而形成的柱面(平面)。
(2)、曲面
表示母线平行于
轴，以
面上的曲线
为准线的抛物柱面。
(3)、该曲面方程中缺少变量
，故它表示母线平行于
轴，而准线为
面上曲线
所形成的双曲柱面。
(4)、该曲面方程中缺少变量
，故它表示母线平行于
轴，而准线为
面上的曲线
所形成的柱面(平面)
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