1. 定理
设
A
A
A
为
n
n
n
阶矩阵，则如下命题等价
-
AA
A
是可逆的 -
AX
=
0
AX=0
A
X
=
0
只有0解 -
AA
A
与
II
I
行等价 -
AA
A
可表示为有限个初等矩阵的乘积
2. 证明
2.1 证明:
1
→
2
1\rightarrow2
1
→
2
已知
A
A
A
可逆，证明
A
X
=
0
AX=0
A
X
=
0
只有0解。
证明：
∵
A
\because\ A
∵
A
可逆
∴
A
−
1
\therefore\ A^-1
∴
A
−
1
存在
⇒
A
−
1
A
X
=
A
−
1
0
\Rightarrow\ A^{-1}AX=A^{-1}0
⇒
A
−
1
A
X
=
A
−
1
0
⇒
X
=
0
\Rightarrow\ X=0
⇒
X
=
0
证毕。
2.2 证明:
2
→
3
2\rightarrow3
2
→
3
已知
A
X
=
0
AX=0
A
X
=
0
只有0解，证明
A
A
A
与
I
I
I
行等价
证明：
∵
A
X
=
0
\because\ AX=0
∵
A
X
=
0
只有0解
⇒
A
\Rightarrow\ A
⇒
A
必定可以化成行阶梯型矩阵
⇒
A
\Rightarrow\ A
⇒
A
的对角元不为0
⇒
A
\Rightarrow\ A
⇒
A
必定可以化为
I
I
I
矩阵
证毕。
2.3
3
→
4
3\rightarrow4
3
→
4
已知
A
A
A
与
I
I
I
行等价，证明
A
A
A
可表示为有限个初等矩阵的乘积
证明：
∵
A
\because\ A
∵
A
与
I
I
I
行等价
∴
\therefore
∴
可以通过若干初等变换
E
1
E
2
.
.
.
E
k
E_1E_2…E_k
E
1
E
2
…
E
k
，使得：
E
1
E
2
.
.
.
.
.
.
E
k
A
=
I
E_1E_2……E_kA=I
E
1
E
2
……
E
k
A
=
I
又
∵
\because
∵
初等矩阵都是必定是可逆矩阵
∴
\therefore
∴
存在
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
(
E
1
E
2
.
.
.
.
.
.
E
k
A
)
=
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
I
E_k^{-1}……E_2^{-1}E_1^{-1} (E_1E_2……E_kA)=E_k^{-1}……E_2^{-1}I
E
k
−
1
……
E
2
−
1
E
1
−
1
(
E
1
E
2
……
E
k
A
)
=
E
k
−
1
……
E
2
−
1
I
⇒
(
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
E
1
E
2
.
.
.
.
.
.
E
k
)
A
=
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
\Rightarrow\ (E_k^{-1}……E_2^{-1}E_1^{-1}E_1E_2……E_k)A=E_k^{-1}……E_2^{-1}
⇒
(
E
k
−
1
……
E
2
−
1
E
1
−
1
E
1
E
2
……
E
k
)
A
=
E
k
−
1
……
E
2
−
1
⇒
A
=
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
\Rightarrow\ A=E_k^{-1}……E_2^{-1}
⇒
A
=
E
k
−
1
……
E
2
−
1
证毕。
2.3
4
→
1
4\rightarrow1
4
→
1
已知
A
A
A
可表示为有限个初等矩阵的乘积，证明
A
A
A
是可逆的。
证明：
∵
A
=
E
1
E
2
.
.
.
.
.
.
E
k
\because\ A=E_1E_2……E_k
∵
A
=
E
1
E
2
……
E
k
，且
E
1
,
E
2
,
.
.
.
E
k
E_1,E_2,…E_k
E
1
,
E
2
,
…
E
k
都是初等矩阵
∴
E
1
−
1
,
E
2
−
1
,
.
.
.
E
k
−
1
\therefore\ E_1^{-1},E_2^{-1},…E_k^{-1}
∴
E
1
−
1
,
E
2
−
1
,
…
E
k
−
1
存在
⇒
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
A
=
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
E
1
E
2
.
.
.
.
.
.
E
k
\Rightarrow\ E_k^{-1}……E_2^{-1}E_1^{-1}A=E_k^{-1}……E_2^{-1}E_1^{-1}E_1E_2……E_k
⇒
E
k
−
1
……
E
2
−
1
E
1
−
1
A
=
E
k
−
1
……
E
2
−
1
E
1
−
1
E
1
E
2
……
E
k
⇒
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
A
=
I
\Rightarrow\ E_k^{-1}……E_2^{-1}E_1^{-1}A=I
⇒
E
k
−
1
……
E
2
−
1
E
1
−
1
A
=
I
⇒
A
−
1
=
E
k
−
1
.
.
.
.
.
.
E
2
−
1
E
1
−
1
\Rightarrow\ A^{-1}=E_k^{-1}……E_2^{-1}E_1^{-1}
⇒
A
−
1
=
E
k
−
1
……
E
2
−
1
E
1
−
1
证毕。
2.4 总结
∵
1
⇒
2
,
2
⇒
3
,
3
⇒
4
,
4
⇒
1
\because\ 1\Rightarrow2,\ 2\Rightarrow3,\ 3\Rightarrow4,\ 4\Rightarrow1
∵
1
⇒
2
,
2
⇒
3
,
3
⇒
4
,
4
⇒
1
∴
\therefore
∴
标题
1
1
1
中的所有命题等价。
3. 扩展
设
A
A
A
为
n
n
n
阶矩阵，则
A
X
=
b
AX=b
A
X
=
b
有唯一解的充要条件是
A
A
A
可逆。试证明。
证明：
-
充分性
∵A
\because\ A
∵
A
可逆
∴A
−
1
\therefore\ A^{-1}
∴
A
−
1
存在
⇒A
−
1
A
X
=
A
−
1
b
\Rightarrow\ A^{-1}AX=A^{-1}b
⇒
A
−
1
A
X
=
A
−
1
b
⇒X
=
A
−
1
b
\Rightarrow\ X=A^{-1}b
⇒
X
=
A
−
1
b
充分性证毕。 -
必要性
假设
AX
=
b
AX=b
A
X
=
b
有唯一解，但
AA
A
不可逆。
根据标题
11
1
中定理，
∵A
\because\ A
∵
A
可逆
⇒A
X
=
0
\Rightarrow\ AX=0
⇒
A
X
=
0
只有0解
∴A
\therefore\ A
∴
A
不可逆
⇒A
X
=
0
\Rightarrow\ AX=0
⇒
A
X
=
0
有非0解
则设存在
AX
=
0
AX=0
A
X
=
0
的一个非0解
ZZ
Z
，使得
AZ
=
0
AZ=0
A
Z
=
0
因此
AX
+
A
Z
=
b
+
0
AX+AZ=b+0
A
X
+
A
Z
=
b
+
0
⇒A
(
X
+
Z
)
=
b
\Rightarrow\ A(X+Z)=b
⇒
A
(
X
+
Z
)
=
b
∵Z
\because\ Z
∵
Z
为非0解
∴X
+
Z
≠
X
\therefore\ X+Z\neq\ X
∴
X
+
Z
=
X
这与
AX
=
b
AX=b
A
X
=
b
有唯一解矛盾，因此：如果
AX
=
b
AX=b
A
X
=
b
有唯一解，
AA
A
必然可逆。
证毕。