全排列的六种算法

近来一直忙着照顾宝宝，博客久未更新了。

全排列是一种时间复杂度为：O(n!)的算法，前两天给学生讲课，无意间想到这个问题，回来总结了一下，可以由7种算法求解，其中动态循环类似回溯算法，实现起来比较繁琐，故总结了6种，以飨读者。所有算法均使用JavaScript编写，可直接运行。

算法一：交换（递归）

<html xmlns=

“http://www.w3.org/1999/xhtml”

>
<head>
<meta http-equiv=

“Content-Type”

content=

“text/html; charset=utf-8”

/>
<title>Full Permutation(Recursive Swap) – Mengliao Software</title>
</head>
<body>
<p>Full Permutation(Recursive Swap)<br />
Mengliao Software Studio – Bosun Network Co., Ltd.<br />
2011.05.24</p>
<script type=

“text/javascript”

>
/*
全排列（递归交换）算法
1、将第一个位置分别放置各个不同的元素；
2、对剩余的位置进行全排列（递归）；
3、递归出口为只对一个元素进行全排列。
*/
function

swap(arr,i,j) {
if

(i!=j) {
var

temp=arr[i];
arr[i]=arr[j];
arr[j]=temp;
}
}
var

count=0;
function

show(arr) {
document.write(

“P<sub>”

+ ++count+

“</sub>: ”

+arr+

“<br />”

);
}
function

perm(arr) {
(

function

fn(n) {

//为第n个位置选择元素
for

(

var

i=n;i<arr.length;i++) {
swap(arr,i,n);
if

(n+1<arr.length-1)

//判断数组中剩余的待全排列的元素是否大于1个
fn(n+1);

//从第n+1个下标进行全排列
else
show(arr);

//显示一组结果
swap(arr,i,n);
}
})(0);
}
perm([

“e1”

,

“e2”

,

“e3”

,

“e4”

]);
</script>
</body>
</html>

算法二：链接（递归）

<html xmlns=

“http://www.w3.org/1999/xhtml”

>
<head>
<meta http-equiv=

“Content-Type”

content=

“text/html; charset=utf-8”

/>
<title>Full Permutation(Recursive Link) – Mengliao Software</title>
</head>
<body>
<p>Full Permutation(Recursive Link)<br />
Mengliao Software Studio – Bosun Network Co., Ltd.<br />
2012.03.29</p>
<script type=

“text/javascript”

>
/*
全排列（递归链接）算法
1、设定源数组为输入数组，结果数组存放排列结果（初始化为空数组）；
2、逐一将源数组的每个元素链接到结果数组中（生成新数组对象）；
3、从原数组中删除被链接的元素（生成新数组对象）；
4、将新的源数组和结果数组作为参数递归调用步骤2、3，直到源数组为空，则输出一个排列。
*/
var

count=0;
function

show(arr) {
document.write(

“P<sub>”

+ ++count+

“</sub>: ”

+arr+

“<br />”

);
}
function

perm(arr) {
(

function

fn(source, result) {
if

(source.length == 0)
show(result);
else
for

(

var

i = 0; i < source.length; i++)
fn(source.slice(0, i).concat(source.slice(i + 1)), result.concat(source[i]));
})(arr, []);
}
perm([

“e1”

,

“e2”

,

“e3”

,

“e4”

]);
</script>
</body>
</html>

算法三：回溯（递归）

<html xmlns=

“http://www.w3.org/1999/xhtml”

>
<head>
<meta http-equiv=

“Content-Type”

content=

“text/html; charset=utf-8”

/>
<title>Full Permutation(Recursive Backtrack) – Mengliao Software</title>
</head>
<body>
<p>Full Permutation(Recursive Backtrack)<br />
Mengliao Software Studio – Bosun Network Co., Ltd.<br />
2012.03.29</p>
<script type=

“text/javascript”

>
/*
全排列（递归回溯）算法
1、建立位置数组，即对位置进行排列，排列成功后转换为元素的排列；
2、建立递归函数，用来搜索第n个位置；
3、第n个位置搜索方式与八皇后问题类似。
*/
var

count = 0;
function

show(arr) {
document.write(

“P<sub>”

+ ++count +

“</sub>: ”

+ arr +

“<br />”

);
}
function

seek(index, n) {
if

(n >= 0)

//判断是否已回溯到了第一个位置之前，即已经找到了所有位置排列
if

(index[n] < index.length – 1) {

//还有下一个位置可选
index[n]++;

//选择下一个位置
if

((

function

() {

//该匿名函数判断该位置是否已经被选择过
for

(

var

i = 0; i < n; i++)
if

(index[i] == index[n])

return

true

;

//已选择
return

false

;

//未选择
})())
return

seek(index, n);

//重新找位置
else
return

true

;

//找到
}
else

{

//当前无位置可选，进行递归回溯
index[n] = -1;

//取消当前位置
if

(seek(index, n – 1))

//继续找上一个位置
return

seek(index, n);

//重新找当前位置
else
return

false

;

//已无位置可选
}
else
return

false

;
}
function

perm(arr) {
var

index =

new

Array(arr.length);
for

(

var

i = 0; i < index.length; i++)
index[i] = -1;

//初始化所有位置为-1，以便++后为0
for

(i = 0; i < index.length – 1; i++)
seek(index, i);

//先搜索前n-1个位置
while

(seek(index, index.length – 1)) {

//不断搜索第n个位置，即找到所有位置排列
var

temp = [];
for

(i = 0; i < index.length; i++)

//将位置之转换为元素
temp.push(arr[index[i]]);
show(temp);
}
}
perm([

“e1”

,

“e2”

,

“e3”

,

“e4”

]);
</script>
</body>
</html>

算法四：回溯（非递归）

<html xmlns=

“http://www.w3.org/1999/xhtml”

>
<head>
<meta http-equiv=

“Content-Type”

content=

“text/html; charset=utf-8”

/>
<title>Full Permutation(Non-recursive Backtrack) – Mengliao Software</title>
</head>
<body>
<p>
Full Permutation(Non-recursive Backtrack)<br />
Mengliao Software Studio – Bosun Network Co., Ltd.<br />
2012.03.29</p>
<script type=

“text/javascript”

>
/*
全排列（非递归回溯）算法
1、建立位置数组，即对位置进行排列，排列成功后转换为元素的排列；
2、第n个位置搜索方式与八皇后问题类似。
*/
var

count = 0;
function

show(arr) {
document.write(

“P<sub>”

+ ++count +

“</sub>: ”

+ arr +

“<br />”

);
}
function

seek(index, n) {
var

flag =

false

, m = n;

//flag为找到位置排列的标志，m保存正在搜索哪个位置
do

{
index[n]++;
if

(index[n] == index.length)

//已无位置可用
index[n–] = -1;

//重置当前位置，回退到上一个位置
else

if

(!(

function

() {
for

(

var

i = 0; i < n; i++)
if

(index[i] == index[n])

return

true

;
return

false

;
})())

//该位置未被选择
if

(m == n)

//当前位置搜索完成
flag =

true

;
else
n++;
}

while

(!flag && n >= 0)
return

flag;
}
function

perm(arr) {
var

index =

new

Array(arr.length);
for

(

var

i = 0; i < index.length; i++)
index[i] = -1;
for

(i = 0; i < index.length – 1; i++)
seek(index, i);
while

(seek(index, index.length – 1)) {
var

temp = [];
for

(i = 0; i < index.length; i++)
temp.push(arr[index[i]]);
show(temp);
}
}
perm([

“e1”

,

“e2”

,

“e3”

,

“e4”

]);
</script>
</body>
</html>

算法五：排序（非递归）

<html xmlns=

“http://www.w3.org/1999/xhtml”

>
<head>
<meta http-equiv=

“Content-Type”

content=

“text/html; charset=utf-8”

/>
<title>Full Permutation(Non-recursive Sort) – Mengliao Software</title>
</head>
<body>
<p>
Full Permutation(Non-recursive Sort)<br />
Mengliao Software Studio – Bosun Network Co., Ltd.<br />
2012.03.30</p>
<script type=

“text/javascript”

>
/*
全排列（非递归求顺序）算法
1、建立位置数组，即对位置进行排列，排列成功后转换为元素的排列；
2、按如下算法求全排列：
设P是1～n(位置编号)的一个全排列：p = p1,p2…pn = p1,p2…pj-1,pj,pj+1…pk-1,pk,pk+1…pn
(1)从排列的尾部开始，找出第一个比右边位置编号小的索引j（j从首部开始计算），即j = max{i | pi < pi+1}
(2)在pj的右边的位置编号中，找出所有比pj大的位置编号中最小的位置编号的索引k，即 k = max{i | pi > pj}
pj右边的位置编号是从右至左递增的，因此k是所有大于pj的位置编号中索引最大的
(3)交换pj与pk
(4)再将pj+1…pk-1,pk,pk+1…pn翻转得到排列p’ = p1,p2…pj-1,pj,pn…pk+1,pk,pk-1…pj+1
(5)p’便是排列p的下一个排列
例如：
24310是位置编号0～4的一个排列，求它下一个排列的步骤如下：
(1)从右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字2；
(2)在该数字后的数字中找出比2大的数中最小的一个3；
(3)将2与3交换得到34210；
(4)将原来2（当前3）后面的所有数字翻转，即翻转4210，得30124；
(5)求得24310的下一个排列为30124。
*/
var

count = 0;
function

show(arr) {
document.write(

“P<sub>”

+ ++count +

“</sub>: ”

+ arr +

“<br />”

);
}
function

swap(arr, i, j) {
var

t = arr[i];
arr[i] = arr[j];
arr[j] = t;
}
function

sort(index) {
for

(

var

j = index.length – 2; j >= 0 && index[j] > index[j + 1]; j–)
;

//本循环从位置数组的末尾开始，找到第一个左边小于右边的位置，即j
if

(j < 0)

return

false

;

//已完成全部排列
for

(

var

k = index.length – 1; index[k] < index[j]; k–)
;

//本循环从位置数组的末尾开始，找到比j位置大的位置中最小的，即k
swap(index, j, k);
for

(j = j + 1, k = index.length – 1; j < k; j++, k–)
swap(index, j, k);

//本循环翻转j+1到末尾的所有位置
return

true

;
}
function

perm(arr) {
var

index =

new

Array(arr.length);
for

(

var

i = 0; i < index.length; i++)
index[i] = i;
do

{
var

temp = [];
for

(i = 0; i < index.length; i++)
temp.push(arr[index[i]]);
show(temp);
}

while

(sort(index));
}
perm([

“e1”

,

“e2”

,

“e3”

,

“e4”

]);
</script>
</body>
</html>

算法六：求模（非递归）

<html xmlns=

“http://www.w3.org/1999/xhtml”

>
<head>
<meta http-equiv=

“Content-Type”

content=

“text/html; charset=utf-8”

/>
<title>Full Permutation(Non-recursive Modulo) – Mengliao Software</title>
</head>
<body>
<p>Full Permutation(Non-recursive Modulo)<br />
Mengliao Software Studio – Bosun Network Co., Ltd.<br />
2012.03.29</p>
<script type=

“text/javascript”

>
/*
全排列（非递归求模）算法
1、初始化存放全排列结果的数组result，与原数组的元素个数相等；
2、计算n个元素全排列的总数，即n!；
3、从>=0的任意整数开始循环n!次，每次累加1，记为index；
4、取第1个元素arr[0]，求1进制的表达最低位，即求index模1的值w，将第1个元素（arr[0]）插入result的w位置，并将index迭代为index\1；
5、取第2个元素arr[1]，求2进制的表达最低位，即求index模2的值w，将第2个元素（arr[1]）插入result的w位置，并将index迭代为index\2；
6、取第3个元素arr[2]，求3进制的表达最低位，即求index模3的值w，将第3个元素（arr[2]）插入result的w位置，并将index迭代为index\3；
7、……
8、直到取最后一个元素arr[arr.length-1]，此时求得一个排列；
9、当index循环完成，便求得所有排列。
例：
求4个元素[“a”, “b”, “c”, “d”]的全排列, 共循环4!=24次，可从任意>=0的整数index开始循环，每次累加1，直到循环完index+23后结束；
假设index=13（或13+24，13+2*24，13+3*24…），因为共4个元素，故迭代4次，则得到的这一个排列的过程为：
第1次迭代，13/1，商=13，余数=0，故第1个元素插入第0个位置（即下标为0），得[“a”]；
第2次迭代，13/2, 商=6，余数=1，故第2个元素插入第1个位置（即下标为1），得[“a”, “b”]；
第3次迭代，6/3, 商=2，余数=0，故第3个元素插入第0个位置（即下标为0），得[“c”, “a”, “b”]；
第4次迭代，2/4，商=0，余数=2, 故第4个元素插入第2个位置（即下标为2），得[“c”, “a”, “d”, “b”]；
*/
var

count = 0;
function

show(arr) {
document.write(

“P<sub>”

+ ++count +

“</sub>: ”

+ arr +

“<br />”

);
}
function

perm(arr) {
var

result =

new

Array(arr.length);
var

fac = 1;
for

(

var

i = 2; i <= arr.length; i++)
fac *= i;
for

(index = 0; index < fac; index++) {
var

t = index;
for

(i = 1; i <= arr.length; i++) {
var

w = t % i;
for

(j = i – 1; j > w; j–)
result[j] = result[j – 1];
result[w] = arr[i – 1];
t = Math.floor(t / i);
}
show(result);
}
}
perm([

“e1”

,

“e2”

,

“e3”

,

“e4”

]);
</script>
</body>
</html>

上面的六种算法有些是对位置进行排列，例如回溯、排序等，因为这样可以适应各种类型的元素，而非要求待排列元素一定是数字或字母等。

转载于:https://blog.51cto.com/mengliao/824079

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