怎么计算e的x的2次方的不定积分
在学习高等数学时，我曾产生了这个问题。经过搜索引擎搜索，我发现很难找到该问题的正确答案，回答者多半当作定积分来计算了，其他的使用分部积分法，然后上传了一个错误地答案。
首先
使用分部积分法是没有可能计算出结果的
，其结果如下：
∫
e
x
2
d
x
=
x
e
x
−
∫
x
d
e
x
2
=
x
e
x
−
∫
e
x
2
⋅
2
x
d
x
\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x =xe^x-\int x\,\mathrm{d}{e^{x^2}} =xe^x-\int e^{x^2}\cdot 2x\,\mathrm{d}x
∫
e
x
2
d
x
=
x
e
x
−
∫
x
d
e
x
2
=
x
e
x
−
∫
e
x
2
⋅
2
x
d
x
这之后就没有办法往下算了，错者多半是将
2
x
2x
2
x
抄掉了。
那么是不是该函数不存在原函数呢？
根据原函数存在定理，不难发现
e
x
2
e^{x^2}
e
x
2
在全区间上都是连续函数，因此它的原函数的一定是存在的。
但是，
有原函数并不代表它能够用基本初等函数形式来表达
。
故我们可以考虑，使用泰勒公式在0点处将
e
x
2
e^{x^2}
e
x
2
进行展开，计算其收敛域，在它的收敛域上计算不定积分。
①将
e
x
2
e^{x^2}
e
x
2
展开为幂级数。
e
x
2
=
1
+
x
2
+
x
4
2
!
+
x
6
3
!
+
⋯
+
x
2
n
n
!
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
n
!
e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots\,+\frac{x^{2n}}{n!}\,+\cdots =\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n}}{n!}
e
x
2
=
1
+
x
2
+
2
!
x
4
+
3
!
x
6
+
⋯
+
n
!
x
2
n
+
⋯
=
n
=
0
∑
∞
n
!
x
2
n
②根据幂级数的收敛域求法：
若
lim
n
→
∞
∣
a
n
+
1
a
n
∣
=
ρ
\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{a_{n+1}}{a_n} \right\vert=\rho
lim
n
→
∞
a
n
a
n
+
1
=
ρ
，则
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
\sum_{n=0}^\infty a_nx^n
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
的收敛半径
R
R
R
的表达式为
R
=
{
1
ρ
,
ρ
≠
0
+
∞
,
ρ
=
0
0
,
ρ
=
+
∞
R=\begin{cases} \frac{1}{\rho},&\rho\ne0\\ +\infty,&\rho=0\\ 0,&\rho=+\infty \end{cases}
R
=
⎩
⎨
⎧
ρ
1
,
+
∞
,
0
,
ρ
=
0
ρ
=
0
ρ
=
+
∞
求①中所得幂级数的收敛半径R：
ρ
=
lim
n
→
∞
∣
1
(
n
+
1
)
!
1
n
!
∣
=
lim
n
→
∞
1
n
+
1
=
0
⇒
R
=
+
∞
\rho=\lim_{n\to\infty}\left\vert \frac{\frac{1}{(n+1)!}}{\frac{1}{n!}} \right\vert =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0\, \Rightarrow R=+\infty
ρ
=
n
→
∞
lim
n
!
1
(
n
+
1
)!
1
=
n
→
∞
lim
n
+
1
1
=
0
⇒
R
=
+
∞
则①中幂级数的收敛域为
I
=
(
−
∞
,
+
∞
)
I=(-\infty,+\infty)
I
=
(
−
∞
,
+
∞
)
。
③根据幂级数求和函数的性质：
幂级数
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
\sum_{n=0}^\infty a_nx^n
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
的和函数
S
(
x
)
S(x)
S
(
x
)
在其收敛域
I
I
I
上可积，且有逐项积分公式
∫
0
x
S
(
t
)
d
t
=
∫
0
x
∑
n
=
0
∞
a
n
t
n
d
t
=
∑
n
=
0
∞
a
n
∫
0
x
t
n
d
t
=
∑
n
=
0
∞
a
n
n
+
1
x
n
+
1
(
x
∈
I
)
\int_0^xS(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty a_nt^n\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^\infty a_n\int_0^xt^n\,\mathrm{d}t=\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}\,(\,x\in I)
∫
0
x
S
(
t
)
d
t
=
∫
0
x
n
=
0
∑
∞
a
n
t
n
d
t
=
n
=
0
∑
∞
a
n
∫
0
x
t
n
d
t
=
n
=
0
∑
∞
n
+
1
a
n
x
n
+
1
(
x
∈
I
)
新的幂级数
∑
n
=
0
∞
a
n
n
+
1
x
n
+
1
\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}
∑
n
=
0
∞
n
+
1
a
n
x
n
+
1
收敛域半径与原级数相同。
因此
e
x
2
e^{x^2}
e
x
2
的不定积分终于可以计算了：
∫
e
x
2
d
x
=
∫
a
x
e
t
2
d
t
=
∫
a
0
e
t
2
d
t
+
∫
0
x
e
t
2
d
t
=
∫
a
0
e
t
2
d
t
+
∫
0
x
∑
n
=
0
∞
t
2
n
n
!
d
t
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
n
!
+
C
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
\begin{aligned} \int e^{x^2}\,\mathrm{d}x &= \int_a^xe^{t^2}\mathrm{d}t\\&=\int_a^0e^{t^2}\mathrm{d}t\,+\int_0^xe^{t^2}\mathrm{d}t\\&=\int_a^0e^{t^2}\mathrm{d}t\,+\int_0^x\sum_{n=0}^\infty \frac{t^{2n}}{n!}\,\mathrm{d}t\\&=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}\,+C,\,\,\,\,x\in (-\infty,+\infty) \end{aligned}
∫
e
x
2
d
x
=
∫
a
x
e
t
2
d
t
=
∫
a
0
e
t
2
d
t
+
∫
0
x
e
t
2
d
t
=
∫
a
0
e
t
2
d
t
+
∫
0
x
n
=
0
∑
∞
n
!
t
2
n
d
t
=
n
=
0
∑
∞
(
2
n
+
1
)
n
!
x
2
n
+
1
+
C
,
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
希望对读者有所帮助