题目
如图，求最大的矩形面积。
单调栈
维护一个单调递增的栈。当新进来的数小于前面的，前面的高出部分已经起不到作用了。故在加入新的前，弹出所有高出的元素，统计答案。再加入新的值，把宽度设成刚刚弹出的宽度加1。
O
(
n
)
O(n)
O
(
n
)
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(__x) cout<<#__x<<"="<<__x<<endl
#define endl '\n'
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int,ll>;
const int maxn = 1e5+5;
int main(){
int T;
cin.tie(0),cout.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
int n;
while(cin>>n && n){
stack<pii> s;
s.push(make_pair(0,-1ll));
ll h;
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n+1;++i){
if(i==n+1) h=0;
else cin>>h;
if(s.top().second<h){
s.push(make_pair(1,h));
}else{
int w=0;
while(s.top().second>=h){
pii last = s.top();
s.pop();
w += last.first;
ans = max(ans, w*last.second);
}
if(h)s.push(make_pair(w+1,h));
}
}
cout<<ans<<endl;
}
}
笛卡尔树
很明显了，利用笛卡尔树中序遍历为原序列以及父节点权值小于左右儿子的特点。对笛卡尔树每个节点统计一次答案即可。建树过程由于每个节点都最多加入和弹出一次，所以仍然为
O
(
n
)
O(n)
O
(
n
)
。
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(__x,_ge) cout<<#__x<<"="<<__x<<_ge
#define endl '\n'
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<int,ll>;
const int maxn = 1e5+5;
struct Node{
int idx, val, par, ch[2];
}tree[maxn];
int n,top;
int stk[maxn];
ll ans;
void add(int idx){
int k=top;
while(k && tree[stk[k]].val > tree[idx].val)
--k;
if(k!=top){ // 不是右链最后一个
tree[idx].ch[0]=stk[k+1];
tree[stk[k+1]].par = idx;
}
if(k)tree[stk[k]].ch[1] = idx, tree[idx].par = stk[k];
stk[++k] = idx;
top = k;
}
int dfs(int u){
if(!u)return 0;
int siz = dfs(tree[u].ch[0]) + dfs(tree[u].ch[1]) + 1;
ans = max(ans, ll(siz) * tree[u].val);
return siz;
}
int main(){
int T;
cin.tie(0),cout.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin>>n && n){
top = 0;
ans = 0;
for(int i=1;i<=n;++i){
cin>>tree[i].val;
tree[i].idx = i;
tree[i].par = tree[i].ch[0] = tree[i].ch[1] = 0;
add(i);
}
dfs(stk[1]);
cout<<ans<<endl;
}
}
// 7 1 2 3 4 2 1 5 0
线性DP
这是来源于最朴树的思想——枚举每个点为矩形高，左右延申最远的距离为矩形宽。左右延展用到了俩个DP数组。
#include <bits/stdc++.h>
#define debug(__x,_ge) cout<<#__x<<"="<<__x<<_ge
#define endl '\n'
using namespace std;
using ll = long long;
const int maxn = 1e5+5;
int L[maxn],R[maxn];
ll a[maxn];
int main(){
int n;
cin.tie(0),cout.tie(0);
ios::sync_with_stdio(false);
while(cin>>n && n){
for(int i=1;i<=n;++i){
cin>>a[i];
}
for(int k,i=1;i<=n;++i){
k = i;
while(k!=1 && a[k-1] >= a[i])
k = L[k-1];
L[i] = k;
}
for(int k,i=n;i>0;--i){
k = i;
while(k!=n && a[k+1] >= a[i])
k = R[k+1];
R[i] = k;
}
ll ans = 0;
for(int i=1;i<=n;++i)
ans = max(ans, a[i]*(R[i]-L[i]+1));
cout<<ans<<endl;
}
}
// 7 1 2 3 4 2 1 5 0