卷积的拉普拉斯变换
系统输入的拉普拉斯变换
X
(
t
)
X(t)
X
(
t
)
乘以传递函数
H
(
s
)
H(s)
H
(
s
)
等于系统输出的拉普拉斯变换
Y
(
s
)
Y(s)
Y
(
s
)
Laplace transform
X
(
s
)
=
L
[
X
(
t
)
]
=
∫
0
∞
X
(
t
)
e
−
s
t
d
t
X(s) = L[X(t)]=\int_{0}^{\infty} X(t) e^{-st} dt
X
(
s
)
=
L
[
X
(
t
)
]
=
∫
0
∞
X
(
t
)
e
−
s
t
d
t
Convolution
x
(
t
)
∗
g
(
t
)
=
∫
0
τ
x
(
τ
)
g
(
t
−
τ
)
d
τ
x(t) * g(t) = \int_0^{\tau} x(\tau) g(t-\tau) d \tau
x
(
t
)
∗
g
(
t
)
=
∫
0
τ
x
(
τ
)
g
(
t
−
τ
)
d
τ
证明：
L
[
x
(
t
)
∗
g
(
t
)
]
=
X
(
s
)
G
(
s
)
L[x(t) * g(t)]=X(s)G(s)
L
[
x
(
t
)
∗
g
(
t
)
]
=
X
(
s
)
G
(
s
)
L
[
x
(
t
)
∗
g
(
t
)
]
=
∫
0
∞
∫
0
t
x
(
τ
)
g
(
t
−
τ
)
d
τ
e
−
s
t
d
t
=
∫
0
∞
∫
τ
∞
x
(
τ
)
g
(
t
−
τ
)
e
−
s
t
d
t
d
τ
令
:
t
−
τ
=
u
t
=
u
+
τ
d
t
=
d
u
+
d
τ
=
d
u
t
∈
[
τ
,
∞
)
⇒
u
=
t
−
τ
∈
[
0
,
∞
)
=
∫
0
∞
∫
0
∞
x
(
τ
)
g
(
u
)
e
−
s
(
u
+
τ
)
d
u
d
τ
=
∫
0
∞
x
(
τ
)
e
−
s
τ
d
τ
∫
0
∞
g
(
u
)
e
−
s
u
d
u
=
X
(
s
)
G
(
s
)
\begin{aligned} L[x(t)*g(t)] &=\int_{0}^{\infty} \int_0^{t} x(\tau) g(t-\tau) d \tau \; e^{-st} dt \\ &=\int_{0}^{\infty} \int_{\tau}^{\infty} x(\tau) g(t-\tau) \; e^{-st} dt \;d \tau \\ & 令: t-\tau = u \quad t=u+\tau \quad dt=du+d\tau=du \\ &t\in[\tau,\infty) \Rightarrow u=t-\tau \in [0,\infty) \\ &=\int_0^{\infty} \int_0^{\infty} x(\tau)g(u) e^{-s(u+\tau)}du\;d\tau \\ &=\int_0^{\infty}x(\tau)e^{-s\tau}d\tau \int_0^{\infty}g(u)e^{-su}du\\ &=X(s)G(s) \end{aligned}
L
[
x
(
t
)
∗
g
(
t
)
]
=
∫
0
∞
∫
0
t
x
(
τ
)
g
(
t
−
τ
)
d
τ
e
−
s
t
d
t
=
∫
0
∞
∫
τ
∞
x
(
τ
)
g
(
t
−
τ
)
e
−
s
t
d
t
d
τ
令
:
t
−
τ
=
u
t
=
u
+
τ
d
t
=
d
u
+
d
τ
=
d
u
t
∈
[
τ
,
∞
)
⇒
u
=
t
−
τ
∈
[
0
,
∞
)
=
∫
0
∞
∫
0
∞
x
(
τ
)
g
(
u
)
e
−
s
(
u
+
τ
)
d
u
d
τ
=
∫
0
∞
x
(
τ
)
e
−
s
τ
d
τ
∫
0
∞
g
(
u
)
e
−
s
u
d
u
=
X
(
s
)
G
(
s
)
结论：
L
(
x
(
t
)
∗
g
(
t
)
)
=
L
[
X
(
t
)
]
L
(
G
(
t
)
)
=
X
(
s
)
G
(
s
)
L(x(t)*g(t))=L[X(t)]L(G(t))=X(s)G(s)
L
(
x
(
t
)
∗
g
(
t
)
)
=
L
[
X
(
t
)
]
L
(
G
(
t
)
)
=
X
(
s
)
G
(
s
)
原视频：
https://www.bilibili.com/video/av26446618