一、利用奇偶性和区间对称性简化积分计算
解析：注意到积分区域是单位球的上半球，由对称性知关于
的奇函数积分都为
，且
地位相同。
注意是在球体里面积分，
，球面上面才等于！！！
二、变量代换和积分区域的分析和刻画
1.
计算
解析：很容易看出积分区域是一个圆域：
做变换：
变换后雅各比矩阵
于是积分变换为：
注意到积分区域的对称性，关于
的积分为0
2.
试求由六个平面
所围成的平行六面体的体积，其中
解析：做变量代换：
令
则雅各比行列式
分之一
为
于是体积
于是
//这个题注意变量代换后雅各比行列式是
，而题中给的
是
，正好是雅各比矩阵的倒数，故而是乘在
前面。
3.
[习题7-2-8（4）] 求给定曲线所围平面区域的面积。区域是双曲螺线
，圆周
与坐标极轴所围成的较小区域。
解析：在
坐标系下刻划异常困难，我们直接采用极坐标，看
的样子，知道
的积分乘以雅各比行列式就是映射到
坐标系下的积分。
极坐标到直角坐标的雅各比行列式是
由
很容易知道要求积分
4.
求封闭曲线
所围区域的面积。
解析：使用极坐标简化方程。
的极坐标方程为
除去
是一个孤立的奇点外，对应于
平面，区域为：
于是面积
此积分的知识点是：
,
5.
计算
，其中
解析：换元令
所以
于是区域就变成了：
雅各比行列式
所以
6.
求由参数曲线
，以及
所围均匀薄片的质心坐标。
解析：
曲线长这样，易知质心横坐标为
，纵坐标计算如下：
积分区域
注意到当
时，
，由此可以确定一个
于是
故而质心坐标
// 一个计算
正解：
错解：
自己思考为什么不能这样解。
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