群，环，域

一. 群的定义：

1）封闭性。2）结合律。3）有幺元。4）有逆元。5）交换律。

满足1），2）的是半群。

满足1），2），3）的是幺半群。

满足1），2），3），4）的是群。

满足1），2），3），4）的是Abel群或交互群（即加群）。

二. 环的定义：

非空集合R 有两个二元运算，加法及乘法。

1）对加法成Abel群。2）对乘法成半群。3）分配律。4）乘法交换律

称为交换环。对乘法有单位元为有单位元1的交换环。

使cI=0的最小的正整数c，称为R的特征。若没有这样的正整数，则称R的特征为0.

三. 整环（整域）

R为交换环，非零元素r
$\in$
R称为零因子，如果存在非零元素，s
$\in$
R，使得rs = 0.

一个无零因子的有单位元的交换环称为整环。

与之等价的是：

消去律：若x,y,r
$\in$
R, r
$\neq$
0,则 rx=ry 导出 x= y.

四. 体(除环)

一个有单位元的环称为体，如果所有非零元素的全体对乘法成群，也就是有除法的有单位元的环。

⑤.域可交换的体称为域。

⑥主理想整环

若R是环，R中的一个子集I称为R的理想，若满足

1）I对R中的加法成Abel群；

2）若a
$\in$
I，r
$\in$
R,则 ar
$\in$
I，及ra
$\in$
I。

1‘）对I中任意两个a,b,则a-b
$\in$
I。

1‘）2）与1），2）等价。

若R为有单位元的交换环，S为R的一个子集，则集合

（s1,…,sn）={r1*s1+…+rn*sn | ri
$\in$
R,si
$\in$
S}

为R的一个理想，称为由S生成（generated）的理想。

成由一个元素a生成的理想为主理想（principal ideal）。

每个理想都是主理想的整环称为主理想整环。

整体全体Z是整环，且也是主理想整环。这是因为Z的任一理想I是有I中的最小正整数a生成。

若F为域，所以系数在F的单变量多项式的集合F[x] 是一个有单位元的交换环。若p(x),q(x)
$\in$
F[x],

且p(x)q(x)=0,则有p(x)=0或q(x)=0,故F[x]还是一个整环。

定理1.2.1 F[x]是主理想整环。