文章目录
一、理论基础
1、蛇优化算法
文献[1]受蛇的特殊交配行为的启发，提出了一种新的自然启发的元启发式算法，称为蛇优化算法(Snake Optimizer, SO)。
（1）初始化
与所有的元启发式算法一样，SO从生成均匀分布的随机种群开始，以便能够开始优化算法过程。可使用下式获得初始种群：
X
i
=
X
min
+
r
×
(
X
max
−
X
min
)
(1)
X_i=X_{\min}+r\times(X_{\max}-X_{\min})\tag{1}
X
i
=
X
min
+
r
×
(
X
max
−
X
min
)
(
1
)
其中，
X
i
X_i
X
i
是第
i
i
i
个个体的位置，
r
r
r
是介于0和1之间的随机数，
X
min
X_{\min}
X
min
和
X
max
X_{\max}
X
max
分别是问题的下界和上界。
（2）种群分为两组—雄性和雌性
假设雄性个数占50%，雌性个数占50%。种群分为两组：雄性组和雌性组。使用式(2)和(3)来划分种群。
N
m
≈
N
/
2
(2)
N_m\approx N/2\tag{2}
N
m
≈
N
/
2
(
2
)
N
f
=
N
−
N
m
(3)
N_f=N-N_m\tag{3}
N
f
=
N
−
N
m
(
3
)
其中，
N
N
N
是种群个体总数，
N
m
N_m
N
m
表示雄性个体数，
N
f
N_f
N
f
表示雌性个体数。
（3）评估每组并确定温度和食物量
-
找到每组中最好的个体，得到最佳的雄性个体(
fb
e
s
t
,
m
f_{best,m}
f
b
e
s
t
,
m
)和最佳的雌性个体(
fb
e
s
t
,
f
f_{best,f}
f
b
e
s
t
,
f
)以及食物位置(
ff
o
o
d
f_{food}
f
f
o
o
d
)。 -
使用下式计算温度：
Temp=
exp
(
−
t
T
)
(4)
\text{Temp}=\exp\left(-\frac tT\right)\tag{4}
Temp
=
exp
(
−
T
t
)
(
4
)
其中，
tt
t
表示当前迭代次数，
TT
T
表示最大迭代次数。 -
食物量(
Q\text{Q}
Q
)使用下式计算：
Q=
c
1
∗
exp
(
t
−
T
T
)
(5)
\text{Q}=c_1*\exp\left(\frac{t-T}{T}\right)\tag{5}
Q
=
c
1
∗
exp
(
T
t
−
T
)
(
5
)
其中，
c1
c_1
c
1
是值为0.5的常数。
（4）探索阶段(无食物)
如果
Q
<
Threshold
(
Threshold
=
0.25
)
Q<\text{Threshold}(\text{Threshold}=0.25)
Q
<
Threshold
(
Threshold
=
0
.
2
5
)
，蛇会通过选择任意位置来搜索食物，并更新它们相对于食物的位置。要模拟探索阶段，需执行以下操作：
X
i
,
m
(
t
+
1
)
=
X
r
a
n
d
,
m
(
t
)
±
c
2
×
A
m
×
(
(
X
max
−
X
min
)
×
r
a
n
d
+
X
min
)
(6)
X_{i,m}(t+1)=X_{rand,m}(t)\pm c_2\times A_m\times((X_{\max}-X_{\min})\times rand+X_{\min})\tag{6}
X
i
,
m
(
t
+
1
)
=
X
r
a
n
d
,
m
(
t
)
±
c
2
×
A
m
×
(
(
X
max
−
X
min
)
×
r
a
n
d
+
X
min
)
(
6
)
其中，
X
i
,
m
X_{i,m}
X
i
,
m
表示第
i
i
i
个雄性个体位置，
X
r
a
n
d
,
m
X_{rand,m}
X
r
a
n
d
,
m
表示随机雄性个体的位置，
r
a
n
d
rand
r
a
n
d
是介于0和1之间的随机数，
A
m
A_m
A
m
是雄性个体寻找食物的能力，计算如下：
A
m
=
exp
(
−
f
r
a
n
d
,
m
f
i
,
m
)
(7)
A_m=\exp\left(-\frac{f_{rand,m}}{f_{i,m}}\right)\tag{7}
A
m
=
exp
(
−
f
i
,
m
f
r
a
n
d
,
m
)
(
7
)
其中，
f
r
a
n
d
,
m
f_{rand,m}
f
r
a
n
d
,
m
是
X
r
a
n
d
,
m
X_{rand,m}
X
r
a
n
d
,
m
的适应度值，
f
i
,
m
f_{i,m}
f
i
,
m
是第
i
i
i
个雄性个体的适应度值，
c
2
c_2
c
2
是值为0.05的常数。
X
i
,
f
=
X
r
a
n
d
,
f
(
t
+
1
)
±
c
2
×
A
f
×
(
(
X
max
−
X
min
)
×
r
a
n
d
+
X
min
)
(8)
X_{i,f}=X_{rand,f}(t+1)\pm c_2\times A_f\times((X_{\max}-X_{\min})\times rand+X_{\min})\tag{8}
X
i
,
f
=
X
r
a
n
d
,
f
(
t
+
1
)
±
c
2
×
A
f
×
(
(
X
max
−
X
min
)
×
r
a
n
d
+
X
min
)
(
8
)
其中，
X
i
,
f
X_{i,f}
X
i
,
f
表示第
i
i
i
个雌性个体的位置，
X
r
a
n
d
,
f
X_{rand,f}
X
r
a
n
d
,
f
表示随机雌性个体的位置，
r
a
n
d
rand
r
a
n
d
是介于0和1之间的随机数，
A
f
A_f
A
f
是雌性个体寻找食物的能力，计算如下：
A
f
=
exp
(
−
f
r
a
n
d
,
f
f
i
,
f
)
(9)
A_f=\exp\left(-\frac{f_{rand,f}}{f_{i,f}}\right)\tag{9}
A
f
=
exp
(
−
f
i
,
f
f
r
a
n
d
,
f
)
(
9
)
其中，
f
r
a
n
d
,
f
f_{rand,f}
f
r
a
n
d
,
f
是
X
r
a
n
d
,
f
X_{rand,f}
X
r
a
n
d
,
f
的适应度值，
f
i
,
f
f_{i,f}
f
i
,
f
是第
i
i
i
个雌性个体的适应度值。
（5）开发阶段(食物存在)
在
Q
>
Threshold
\text{Q}>\text{Threshold}
Q
>
Threshold
的前提下，如果满足
Temp
>
Threshold
(
0.6
)
\text{Temp}>\text{Threshold}(0.6)
Temp
>
Threshold
(
0
.
6
)
(炎热)，此时蛇只会向食物方向移动。
X
i
,
j
(
t
+
1
)
=
X
f
o
o
d
±
c
3
×
Temp
×
r
a
n
d
×
(
X
f
o
o
d
−
X
i
,
j
(
t
)
)
(10)
X_{i,j}(t+1)=X_{food}\pm c_3\times\text{Temp}\times rand\times(X_{food}-X_{i,j}(t))\tag{10}
X
i
,
j
(
t
+
1
)
=
X
f
o
o
d
±
c
3
×
Temp
×
r
a
n
d
×
(
X
f
o
o
d
−
X
i
,
j
(
t
)
)
(
1
0
)
其中，
X
i
,
j
X_{i,j}
X
i
,
j
是所有个体(雄性和雌性)的位置，
X
f
o
o
d
X_{food}
X
f
o
o
d
是最佳个体的位置，
c
3
c_3
c
3
是值为2的常数。
如果满足
Temp
<
Threshold
(
0.6
)
\text{Temp}<\text{Threshold}(0.6)
Temp
<
Threshold
(
0
.
6
)
(寒冷)，此时蛇将处于战斗模式或交配模式。
-
当蛇处于战斗模式时：
Xi
,
m
(
t
+
1
)
=
X
i
,
m
(
t
)
±
c
3
×
F
M
×
r
a
n
d
×
(
Q
×
X
b
e
s
t
,
f
−
X
i
,
m
(
t
)
)
(11)
X_{i,m}(t+1)=X_{i,m}(t)\pm c_3\times FM\times rand\times(\text Q\times X_{best,f}-X_{i,m}(t))\tag{11}
X
i
,
m
(
t
+
1
)
=
X
i
,
m
(
t
)
±
c
3
×
F
M
×
r
a
n
d
×
(
Q
×
X
b
e
s
t
,
f
−
X
i
,
m
(
t
)
)
(
1
1
)
其中，
Xi
,
m
X_{i,m}
X
i
,
m
表示第
ii
i
个雄性个体的位置，
Xb
e
s
t
,
f
X_{best,f}
X
b
e
s
t
,
f
表示雌性群体中最佳个体的位置，
FM
FM
F
M
表示雄性个体的战斗能力。
Xi
,
f
(
t
+
1
)
=
X
i
,
f
(
t
)
±
c
3
×
F
F
×
r
a
n
d
×
(
Q
×
X
b
e
s
t
,
m
−
X
i
,
f
(
t
)
)
(12)
X_{i,f}(t+1)=X_{i,f}(t)\pm c_3\times FF\times rand\times(\text Q\times X_{best,m}-X_{i,f}(t))\tag{12}
X
i
,
f
(
t
+
1
)
=
X
i
,
f
(
t
)
±
c
3
×
F
F
×
r
a
n
d
×
(
Q
×
X
b
e
s
t
,
m
−
X
i
,
f
(
t
)
)
(
1
2
)
其中，
Xi
,
f
X_{i,f}
X
i
,
f
表示第
ii
i
个雌性个体的位置，
Xb
e
s
t
,
m
X_{best,m}
X
b
e
s
t
,
m
表示雄性群体中最佳个体的位置，
FF
FF
F
F
表示雌性个体的战斗能力。
FM
FM
F
M
和
FF
FF
F
F
可通过下式计算：
FM
=
exp
(
−
f
b
e
s
t
,
f
f
i
)
(13)
FM=\exp\left(-\frac{f_{best,f}}{f_i}\right)\tag{13}
F
M
=
exp
(
−
f
i
f
b
e
s
t
,
f
)
(
1
3
)
FF
=
exp
(
−
f
b
e
s
t
,
m
f
i
)
(14)
FF=\exp\left(-\frac{f_{best,m}}{f_i}\right)\tag{14}
F
F
=
exp
(
−
f
i
f
b
e
s
t
,
m
)
(
1
4
)
其中，
fb
e
s
t
,
f
f_{best,f}
f
b
e
s
t
,
f
是雌性群体中最佳个体的适应度，
fb
e
s
t
,
m
f_{best,m}
f
b
e
s
t
,
m
是雄性群体中最佳个体的适应度，
fi
f_i
f
i
是当前个体的适应度。 -
当蛇处于交配模式时：
Xi
,
m
(
t
+
1
)
=
X
i
,
m
(
t
)
±
c
3
×
M
m
×
r
a
n
d
×
(
Q
×
X
i
,
f
(
t
)
−
X
i
,
m
(
t
)
)
(15)
X_{i,m}(t+1)=X_{i,m}(t)\pm c_3\times M_m\times rand\times(\text Q\times X_{i,f}(t)-X_{i,m}(t))\tag{15}
X
i
,
m
(
t
+
1
)
=
X
i
,
m
(
t
)
±
c
3
×
M
m
×
r
a
n
d
×
(
Q
×
X
i
,
f
(
t
)
−
X
i
,
m
(
t
)
)
(
1
5
)
Xi
,
f
(
t
+
1
)
=
X
i
,
f
(
t
)
±
c
3
×
M
f
×
r
a
n
d
×
(
Q
×
X
i
,
m
(
t
)
−
X
i
,
f
(
t
)
)
(16)
X_{i,f}(t+1)=X_{i,f}(t)\pm c_3\times M_f\times rand\times(\text Q\times X_{i,m}(t)-X_{i,f}(t))\tag{16}
X
i
,
f
(
t
+
1
)
=
X
i
,
f
(
t
)
±
c
3
×
M
f
×
r
a
n
d
×
(
Q
×
X
i
,
m
(
t
)
−
X
i
,
f
(
t
)
)
(
1
6
)
其中，
Xi
,
f
X_{i,f}
X
i
,
f
是第
ii
i
个雌性个体的位置，
Xi
,
m
X_{i,m}
X
i
,
m
是第
ii
i
个雄性个体的位置，
Mm
M_m
M
m
和
Mf
M_f
M
f
分别是雄性和雌性的交配能力，可计算如下：
Mm
=
exp
(
−
f
i
,
f
f
i
,
m
)
(17)
M_m=\exp\left(-\frac{f_{i,f}}{f_{i,m}}\right)\tag{17}
M
m
=
exp
(
−
f
i
,
m
f
i
,
f
)
(
1
7
)
Mf
=
exp
(
−
f
i
,
m
f
i
,
f
)
(18)
M_f=\exp\left(-\frac{f_{i,m}}{f_{i,f}}\right)\tag{18}
M
f
=
exp
(
−
f
i
,
f
f
i
,
m
)
(
1
8
)
如果蛋孵化，选择最差的雄性和雌性个体并替换它们：
Xw
o
r
s
t
,
m
=
X
min
+
r
a
n
d
×
(
X
max
−
X
min
)
(19)
X_{worst,m}=X_{\min}+rand\times(X_{\max}-X_{\min})\tag{19}
X
w
o
r
s
t
,
m
=
X
min
+
r
a
n
d
×
(
X
max
−
X
min
)
(
1
9
)
Xw
o
r
s
t
,
f
=
X
min
+
r
a
n
d
×
(
X
max
−
X
min
)
(20)
X_{worst,f}=X_{\min}+rand\times(X_{\max}-X_{\min})\tag{20}
X
w
o
r
s
t
,
f
=
X
min
+
r
a
n
d
×
(
X
max
−
X
min
)
(
2
0
)
其中，
Xw
o
r
s
t
,
m
X_{worst,m}
X
w
o
r
s
t
,
m
是最差的雄个体，
Xw
o
r
s
t
,
f
X_{worst,f}
X
w
o
r
s
t
,
f
是最差的雌性个体。
2、SO算法伪代码
SO算法伪代码如图1所示。
图1 SO算法伪代码
二、仿真实验与结果分析
将SO与MFO、HHO和WOA进行对比，以CEC2017测试函数中的F1、F2(单峰函数/30维)，F5、F6(简单多峰函数/30维)、F14、F15(混合函数/30维)、F23、F24(合成函数/30位)，实验设置种群规模为30，最大迭代次数为500，每种算法独立运算30次，结果显示如下：
函数：F1
SO：最差值:33974673.7307,最优值:1155333.672,平均值:10196011.2452,标准差:10254370.6097,秩和检验:1
MFO：最差值:29115737344.125,最优值:1365731153.716,平均值:9963494991.0887,标准差:7914826555.6681,秩和检验:3.0199e-11
HHO：最差值:65049090447.8205,最优值:35245462786.294,平均值:50849509866.1387,标准差:7324690706.6761,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:9471165065.8515,最优值:1987532979.0067,平均值:5297462938.994,标准差:1868211383.1812,秩和检验:3.0199e-11
函数：F2
SO：最差值:89771.8089,最优值:52558.7692,平均值:69986.3462,标准差:9649.2405,秩和检验:1
MFO：最差值:312557.7779,最优值:86620.335,平均值:185422.9748,标准差:65351.7631,秩和检验:3.6897e-11
HHO：最差值:93162.1726,最优值:76055.8727,平均值:89794.4644,标准差:3707.603,秩和检验:2.3715e-10
WOA：最差值:414014.7119,最优值:131543.3979,平均值:262109.8029,标准差:77417.8965,秩和检验:3.0199e-11
函数：F5
SO：最差值:630.4691,最优值:607.6786,平均值:617.0331,标准差:6.688,秩和检验:1
MFO：最差值:677.3797,最优值:620.2406,平均值:641.7679,标准差:14.3667,秩和检验:6.722e-10
HHO：最差值:701.0952,最优值:669.9093,平均值:684.2152,标准差:7.6866,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:717.6984,最优值:658.1284,平均值:680.385,标准差:12.3442,秩和检验:3.0199e-11
函数：F6
SO：最差值:987.1854,最优值:835.0802,平均值:912.8178,标准差:41.1131,秩和检验:1
MFO：最差值:1839.3778,最优值:853.1182,平均值:1121.697,标准差:264.1183,秩和检验:1.2493e-05
HHO：最差值:1451.4651,最优值:1227.5803,平均值:1378.0648,标准差:47.3223,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:1521.9355,最优值:1133.224,平均值:1308.4355,标准差:88.6087,秩和检验:3.0199e-11
函数：F14
SO：最差值:56298.7091,最优值:2785.1689,平均值:16945.7969,标准差:15113.6619,秩和检验:1
MFO：最差值:120041.348,最优值:4741.575,平均值:42709.3347,标准差:28102.5705,秩和检验:1.4298e-05
HHO：最差值:2342601244.6978,最优值:488004.3141,平均值:359936905.7366,标准差:507183244.3008,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:34848733.8535,最优值:462489.2436,平均值:5624854.7648,标准差:8061511.2733,秩和检验:3.0199e-11
函数：F15
SO：最差值:3163.7247,最优值:2109.8214,平均值:2646.0954,标准差:279.0975,秩和检验:1
MFO：最差值:3778.2905,最优值:2340.7927,平均值:2972.5303,标准差:361.0532,秩和检验:0.00090307
HHO：最差值:9846.4461,最优值:3770.6534,平均值:5443.3361,标准差:1587.9875,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:6082.3881,最优值:3388.2027,平均值:4328.3335,标准差:577.7778,秩和检验:3.0199e-11
函数：F23
SO：最差值:3043.5774,最优值:2895.7575,平均值:2945.502,标准差:33.0863,秩和检验:1
MFO：最差值:3059.3567,最优值:2922.609,平均值:2995.1531,标准差:36.9215,秩和检验:3.5708e-06
HHO：最差值:4078.6594,最优值:3400.9435,平均值:3666.0339,标准差:170.655,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:3512.2775,最优值:3113.2449,平均值:3295.8396,标准差:105.6938,秩和检验:3.0199e-11
函数：F24
SO：最差值:3027.5599,最优值:2895.514,平均值:2945.9496,标准差:34.5178,秩和检验:1
MFO：最差值:4716.7118,最优值:2909.5645,平均值:3309.8719,标准差:425.8871,秩和检验:7.043e-07
HHO：最差值:5747.3332,最优值:4048.9975,平均值:4739.2239,标准差:400.0802,秩和检验:3.0199e-11
WOA：最差值:3412.9083,最优值:3071.8852,平均值:3204.753,标准差:84.7944,秩和检验:3.0199e-11
实验结果表明了SO算法在不同场景的探索—开发平衡和收敛曲线速度方面的有效性。
三、参考文献
[1] Fatma A. Hashim, Abdelazim G. Hussien.
Snake Optimizer: A novel meta-heuristic optimization algorithm
[J]. Knowledge-Based Systems, 2022, 242: 108320.