在数学应用上，对于运动引起的图像模糊，最简单的方法是直接做逆滤波，但是逆滤波对加性噪声特别敏感，使得恢复的图像几乎不可用。最小均方差（维纳）滤波用来去除含有噪声的模糊图像，其目标是找到未污染图像的一个估计，使它们之间的均方差最小，可以去除噪声，同时清晰化模糊图像。
定义
给定一个系统
y
(
t
)
=
h
(
t
)
∗
x
(
t
)
+
n
(
t
)
这里，
∗
是卷积符号
-
x
(
t
)
是在时间
t
刻输入的信号（未知） -
h
(
t
)
是一个线性时间不变系统的脉冲响应（已知）-
n
(
t
)
是加性噪声，与
x
(
t
)
不相关（未知） -
y
(
t
)
是我们观察到的信号
我们的目标是找出这样的卷积函数
g
(
t
)
，这样我们可以如下得到估计的
x
(
t
)
：
x
^
(
t
)
=
g
(
t
)
∗
y
(
t
)
这里
x
^
(
t
)
是
x
(
t
)
的最小均方差估计。
基于这种误差度量， 滤波器可以在频率域如下描述
G
(
f
)
=
H
∗
(
f
)
S
(
f
)
|
H
(
f
)
|
2
S
(
f
)
+
N
(
f
)
=
H
∗
(
f
)
|
H
(
f
)
|
2
+
N
(
f
)
/
S
(
f
)
这里： -
G
(
f
)
和
H
(
f
)
是
g
和
h
在频率域
f
的傅里叶变换。 -
S
(
f
)
是输入信号
x
(
t
)
的功率谱。 -
N
(
f
)
是噪声的
n
(
t
)
的功率谱。 -
上标
∗
代表复数共轭。
滤波过程可以在频率域完成：
X
^
(
f
)
=
G
(
f
)
∗
Y
(
f
)
这里
X
^
(
f
)
是
x
^
(
t
)
的傅里叶变换，通过逆傅里叶变化可以得到去卷积后的结果
x
^
(
t
)
。 -
解释
上面的式子可以改写成更为清晰的形式
G
(
f
)
=
1
H
(
f
)
⎡
⎣
⎢
|
H
(
f
)
|
2
|
H
(
f
)
|
2
+
N
(
f
)
S
(
f
)
⎤
⎦
⎥
=
1
H
(
f
)
⎡
⎣
|
H
(
f
)
|
2
|
H
(
f
)
|
2
+
1
S
N
R
(
f
)
⎤
⎦
这里
H
(
f
)
是
h
在频率域
f
的傅里叶变换。
S
N
R
(
f
)
=
S
(
f
)
/
N
(
f
)
是信号噪声比。当噪声为零时（即信噪比趋近于无穷），方括号内各项也就等于1，意味着此时刻维纳滤波也就简化成逆滤波过程。但是当噪声增加时，信噪比降低，方括号里面值也跟着降低。这说明，维纳滤波的带通频率依赖于信噪比。推导
上面直接给出了维纳滤波的表达式，接下来介绍推导过程。
上面提到，维纳滤波是建立在最小均方差，可以如下表示：
e
(
f
)
=
E
|
X
(
f
)
−
X
^
(
f
)
|
2
这里
E
是期望
如果我们替换表达式中的
X
^
(
f
)
，上面可以重新组合成
e
(
f
)
=
E
|
X
(
f
)
−
G
(
f
)
Y
(
f
)
|
2
=
E
|
X
(
f
)
−
G
(
f
)
[
H
(
f
)
X
(
f
)
+
V
(
f
)
]
|
2
=
E
|
[
1
−
G
(
f
)
H
(
f
)
]
X
(
f
)
−
G
(
f
)
V
(
f
)
|
2
展开二次方，得到下式：
e
(
f
)
=
[
1
−
G
(
f
)
H
(
f
)
]
[
1
−
G
(
f
)
H
(
f
)
]
∗
E
|
X
(
f
)
|
2
−
[
1
−
G
(
f
)
H
(
f
)
]
G
∗
(
f
)
E
{
X
(
f
)
V
∗
(
f
)
}
−
G
(
f
)
[
1
−
G
(
f
)
H
(
f
)
]
∗
E
{
V
(
f
)
X
∗
(
f
)
}
+
G
(
f
)
G
∗
(
f
)
E
|
V
(
f
)
|
2
然而，我们假设噪声与信号独立无关，这样有
E
{
X
(
f
)
V
∗
(
f
)
}
=
E
{
V
(
f
)
X
∗
(
f
)
}
=
0
并且我们如下定义功率谱
S
(
f
)
=
E
|
X
(
f
)
|
2
N
(
f
)
=
E
|
V
(
f
)
|
2
这样我们有
e
(
f
)
=
[
1
−
G
(
f
)
H
(
f
)
]
[
1
−
G
(
f
)
H
(
f
)
]
∗
S
(
f
)
+
G
(
f
)
G
∗
(
f
)
N
(
f
)
为了得到最小值，我们对
G
(
f
)
求导，令方程等于零。
d
(
f
)
d
G
(
f
)
=
G
∗
(
f
)
N
(
f
)
−
H
(
f
)
[
1
−
G
(
f
)
H
(
f
)
]
∗
S
(
f
)
=
0
由此最终推出维纳滤波器。测试
Matlab自带了示例程序，如下
%Read image I = im2double(imread('cameraman.tif')); figure,subplot(2,3,1),imshow(I); title('Original Image (courtesy of MIT)'); %Simulate a motion blur LEN = 21; THETA = 11; PSF = fspecial('motion', LEN, THETA); blurred = imfilter(I, PSF, 'conv', 'circular'); subplot(2,3,2),imshow(blurred); title('Blurred Image'); %Restore the blurred image wnr1 = deconvwnr(blurred, PSF, 0); subplot(2,3,3),imshow(wnr1); title('Restored Image'); %Simulate blur and noise noise_mean = 0; noise_var = 0.0001; blurred_noisy = imnoise(blurred, 'gaussian', ... noise_mean, noise_var); subplot(2,3,4),imshow(blurred_noisy) title('Simulate Blur and Noise') %Restore the blurred and noisy image:First attempt wnr2 = deconvwnr(blurred_noisy, PSF, 0); subplot(2,3,5);imshow(wnr2);title('Restoration of Blurred, Noisy Image Using NSR = 0') %Restore the Blurred and Noisy Image: Second Attempt signal_var = var(I(:)); wnr3 = deconvwnr(blurred_noisy, PSF, noise_var / signal_var); subplot(2,3,6),imshow(wnr3) title('Restoration of Blurred, Noisy Image Using Estimated NSR');
维纳滤波需要估计图像的信噪比(SNR)或者噪信比(NSR)，信号的功率谱使用图像的方差近似估计，噪声分布是已知的。从第一排中可以看出，若无噪声，此时维纳滤波相当于逆滤波，恢复运动模糊效果是极好的。从第二排可以看出噪信比估计的准确性对图像影响比较大的，二排中间效果几乎不可用。参考阅读
http://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_deconvolution
英文维基百科
http://www.owlnet.rice.edu/~elec539/Projects99/BACH/proj2/wiener.html
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