对矩阵A而言，
BxA（左乘）是对A进行行变换
AxB（右乘）是对A 进行列变换
如图
这里再讲一下A*v的几何意义;
A
=
[
1
−
1
1
2
]
A=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 &2 \end{bmatrix}
A
=
[
1
1
−
1
2
]
,
v
=
[
1
1
]
v=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
v
=
[
1
1
]
A
v
=
[
0
3
]
Av=\begin{bmatrix} 0 \\ 3 \end{bmatrix}
A
v
=
[
0
3
]
这个在几何上怎么理解呢？
在上面部分我们知道，这个操作就是对A的列进行操作，取1份[1;1]，一份[-1;2]，相加得到[0,3]
那实际上也就是以A的列向量[1;1] [-1;2]分别为x\y轴构建新的坐标系，新坐标系下的[1,1]，在原来的[1,0] [0,1]坐标系下表现为[0,3]
也就是Ev=v，是以E（[1,0] [0,1]）轴为基，v为坐标；
而因为Av=EAv，所以该表达是先以A（[1,1] [-1,1]）轴为基，v为该坐标系下的坐标；再放到E坐标系下，发现是[0,3]
或者更直接的这么理解：变换后x跑到[1;1] ，y跑到 [-1;2]了，由于线性变换是等距平行四边形模样，且原点不动，所以借助变换后的xy定位变换后的vector的位置：x[1;-1]+y[-1;1]
注意到这里原点不变，不然就不是线性变换，而是仿射变换。变换是线性的定义是满足（1）Add: L（vector1+vector2）=L(vector1)+L(vector2) （2）Scale: L（c vector)=c L(vector) 所以原点是固定的
白色部分是E坐标（锚），绿色、红色部分是新坐标系；取x绿， y红，相加，新坐标系中的[x,y]表现为E坐标系中的x
绿+y
红色。
所以A的两个列就是一个很好的记录，比如我们要旋转一个向量（x,y），假设E坐标系中的（0，1） （1，0）旋转后是A的第一二列，那么Ax就是旋转后的向量了
而
det(A)
，就是旋转/伸缩(线性变换)后 绿，红线围成的平行四边形的面积。
假设A不满秩，也就是两条新坐标轴将共线，面积为0，det(A)=0。
当det(A)<0,说明是坐标轴翻转了（oriented?），即翻了个面，本来y轴在x轴左边的，现在跑到右边去了。
对于三维空间，det(A)是体积，表示变换后的x,y，z轴围成的cube的体积。那么原本在三维空间中的某个物体，变换后体积也相应变大为det(A)倍数。当A不满秩序，也就是有两/三条变换后的轴共线了，cube压成了平面/直线，平面/直线的体积==0， det(A)=0。当det(A)<0,就是翻转了，右手法则（右手拇指Z，食指x，中指y）变成了左手法则（右手拇指Z，食指x，中指y），本来y轴在x轴左边的，现在跑到右边去了。
det(AB)=det(A)det(B)：因为AB是复合变换；先变换B，单位cube面积变化为det(B)倍；然后变换A，在上一部的基础上再变化为det(A)倍，也就是最终det(A)*det(B)倍。==》 det(A)det(B) == det(A) * det(B)
A的特征向量，对应则在这个旋转伸缩过程中不会旋转只伸缩的向量（旋转轴），对应的特征值，是指这个旋转轴方向上的伸缩量，只伸缩，不旋转。
A
v
=
λ
v
Av=\lambda v
A
v
=
λ
v
所以为什么一个N重特征值
λ
1
\lambda_1
λ
1
对应着N个不同的特征向量（旋转轴）呢？这里其实是因果倒置了，逻辑是：我有N个旋转轴，不会跟着变换旋转，而只是伸缩；它们的伸缩量刚好都是是
λ
1
\lambda_1
λ
1
；
是这样的：方阵特征值对应的基础解系包含的向量个数不大于特征根的重数。比如说一个二重特征根它对应的特征向量基础解系的个数可能为2也可能为1。有的课本把特征根的重数叫做特征值的代数重数，把特征值对应特征向量的基础解系个数叫做特征值的几何重数，于是刚才所描述的原理也可以这么叙述：方阵特征根的几何重数不大于代数重数。那么题主可能要问，特征根几何重数等于代数重数的方阵，和特征根几何重数小于代数重数的方阵有什么区别呢？区别在于，如果一个方阵的所有特征根的几何重数均等于其代数重数，那么这个方阵是可以相似对角化的，如果这个方阵中只要有一个（或以上）的特征值的几何重数小于其代数重数，那么这个方阵就是无法相似对角化的。
再一个，我们知道实对称矩阵的特征向量都是正交的；那么普通矩阵，一个
λ
1
\lambda_1
λ
1
对应的多个特征向量，我们通常都将它们单位正交化；那为什么单位正交化后，还是这个特征向量/值呢？ 因为从公式上来讲，特征向量的线性组合还是特征向量
A
(
v
1
+
v
2
)
=
A
v
1
+
A
v
2
=
λ
1
v
1
+
λ
1
v
2
=
λ
1
(
v
1
+
v
2
)
A(v_1+v2)=Av_1+Av_2=\lambda_1v_1+\lambda_1 v_2=\lambda_1(v_1+v_2)
A
(
v
1
+
v
2
)
=
A
v
1
+
A
v
2
=
λ
1
v
1
+
λ
1
v
2
=
λ
1
(
v
1
+
v
2
)
，即
v
1
+
v
2
v_1+v_2
v
1
+
v
2
仍然是特征向量，特征值即伸缩因子仍然是
λ
1
\lambda_1
λ
1
。
但是几何上怎么理解？??
:
λx=Ax表示特征向量相当于沿此方向进行特征值倍数的放缩，如果
一个特征值
有两个
线性无关
的特征向量，说明在两个方向上均匀缩放，那么用这两个线性无关特征向量作为基表示整个平面，平面上处处都是均匀缩放
当A为旋转变换时，没有任何一条线是原地不动只伸缩的
因此，特征值没有实数解
也就是说，求出来特征值是虚数or复数的，对应着某种旋转
投影和特征向量
另外，对称矩阵必可以对角化（特征分解），有什么好处呢？
我们知道 （源自
泛函分析绪论r
）
也就是上面讲的，
“A的特征向量，对应则在这个旋转伸缩过程中不会旋转的向量（旋转轴），对应的特征值，是指这个旋转轴方向上的伸缩量，只伸缩，不旋转。”
因此
解方程Ax=y，x是待求解向量；就是求在变换A下，哪个x会变成变换后的y。
当A不满秩，也就是有的变换后的轴共线了，整个平面被变换为一条先/面，总之被压缩了，做不到一一映射了，也就找不到唯一的那个x； 逆变换也就不存在，也就是A不可逆。当然，当x本身就在压缩后的线上，那就能找到。
A
−
1
A
x
=
x
A^{-1}Ax=x
A
−
1
A
x
=
x
，因为
A
−
1
A
=
E
A^{-1}A=E
A
−
1
A
=
E
,
E
x
=
x
Ex=x
E
x
=
x
，也就是两条轴没变换，自然x或空间内的其他向量也没变换。
det(A)!=0，没坍缩，满秩。
秩：变换后的空间的维数，那就是看A的列向量张成的空间的维数
Null Space 零空间/Kernel 核：变换后落在原点的向量的集合！（二维里有一条线上的点（向量）落在原点，三维里有一个面落在原点）
Ax=0即可求解
非方阵
（1）低维到高维
A
=
[
1
4
2
5
3
6
]
A=\begin{bmatrix} 1 & 4\\ 2&5\\ 3&6 \end{bmatrix}
A
=
⎣
⎡
1
2
3
4
5
6
⎦
⎤
,
输入空间为2维
v
=
[
1
1
]
v=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
v
=
[
1
1
]
A
v
=
[
5
7
9
]
Av=\begin{bmatrix} 5\\7\\9 \end{bmatrix}
A
v
=
⎣
⎡
5
7
9
⎦
⎤
,
可以看到，A把2维的v变换到3维空间中了。
原本2维空间中的x轴
[
0
1
]
\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}
[
0
1
]
，被变换到了三维空间中的
x
^
=
[
1
2
3
]
\hat{x}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2\\ 3\\ \end{bmatrix}
x
^
=
⎣
⎡
1
2
3
⎦
⎤
;
原本2维空间中的y轴
[
1
0
]
\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}
[
1
0
]
，被变换到了三维空间中的
x
^
=
[
4
5
6
]
\hat{x}=\begin{bmatrix} 4 \\ 5\\ 6\\ \end{bmatrix}
x
^
=
⎣
⎡
4
5
6
⎦
⎤
对应的原本2维空间中的v，被变换到了三维空间中的
A
v
=
[
5
7
9
]
Av=\begin{bmatrix} 5\\7\\9 \end{bmatrix}
A
v
=
⎣
⎡
5
7
9
⎦
⎤
A:3*2，将2维变换到3维空间
（但是原本2维空间被限制在3维空间的一个面中！有变换后的
x
^
y
^
\hat{x}\hat{y}
x
^
y
^
张成的一个三维空间中的一个面）
这里A仍然是二维意义上的满秩的
（2）高维到低维
如A：2
3
A
=
[
3
1
4
1
5
9
]
A=\begin{bmatrix} 3 &1&4\\ 1&5&9 \end{bmatrix}
A
=
[
3
1
1
5
4
9
]
,
三维空间中的
[
1
0
0
]
\begin{bmatrix} 1\\0\\0 \end{bmatrix}
⎣
⎡
1
0
0
⎦
⎤
变换到了二维中的
[
3
1
]
\begin{bmatrix} 3\\1 \end{bmatrix}
[
3
1
]
，
[
0
1
0
]
\begin{bmatrix} 0\\1\\0 \end{bmatrix}
⎣
⎡
0
1
0
⎦
⎤
变换到了二维中的
[
1
5
]
\begin{bmatrix} 1\\5 \end{bmatrix}
[
1
5
]
，
[
0
0
1
]
\begin{bmatrix} 0\\0\\1 \end{bmatrix}
⎣
⎡
0
0
1
⎦
⎤
变换到了二维中的
[
4
9
]
\begin{bmatrix} 4\\9 \end{bmatrix}
[
4
9
]
(3) A: 2
1 二维变换到1维
如A：2*3
A
=
[
1
2
]
A=\begin{bmatrix} 1&2 \end{bmatrix}
A
=
[
1
2
]
,
2维空间中的
[
1
0
]
\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}
[
1
0
]
变换到了1维中的
[
1
]
\begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}
[
1
]
，
[
0
1
]
\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}
[
0
1
]
变换到了1维中的
[
2
]
\begin{bmatrix} 2 \end{bmatrix}
[
2
]
，
这个变换与
点积
（dot product）紧密相关
扩展空间的概念，函数在作为空间中的向量/元素——函数空间
满足下列定理的空间，就可以利用线性代数所学的这套理论来套
线性变换——算子（函数空间到函数空间，比如对x变上限积分、对
x
2
x^2
x
2
求导后仍然是函数）
特征向量——特征函数
多项式空间比较容易类比向量空间(
1
,
x
,
x
2
,
⋯
,
x
n
,
⋯
1,x,x^2, \cdots,x^n,\cdots
1
,
x
,
x
2
,
⋯
,
x
n
,
⋯
为基/轴，无穷个 )
傅里叶变换也是，
e
j
k
w
t
e^{jkwt}
e
j
k
w
t
为基（轴），
s
(
t
)
s(t)
s
(
t
)
在各轴上的坐标就是
s
(
t
)
s(t)
s
(
t
)
在各个轴上的投影——内积（因为
e
j
k
w
t
e^{jkwt}
e
j
k
w
t
模长1不用除掉）——也就是
∫
s
(
t
)
e
j
k
w
t
d
t
\int s(t)e^{jkwt}dt
∫
s
(
t
)
e
j
k
w
t
d
t
（线代的内积是离散内积，相乘再相加；到了连续变量上，相加就是积分了）
所以所谓“检波”，其实也就是在求内积，也就是求投影（
∣
a
∣
∣
b
∣
c
o
s
θ
=
∣
a
∣
c
o
s
θ
|a||b|cos\theta=|a|cos\theta
∣
a
∣
∣
b
∣
c
o
s
θ
=
∣
a
∣
c
o
s
θ
）
正交变换后，
