§8.8 多元函数极值及其求法
一、多元函数的极值
1、多元函数极值定义
设函数
在点
的某个邻域内有定义,对该邻域内异于
的点
,如果都适合不等式
则称函数在点
取
极大值
；
如果都适合不等式
则称函数在点
取
极小值
。
极大值与极小值统称为函数的
极值
；使函数取得极值的点称为
极值点
。
注:
二元函数的极值是一个
局部概念
,这一概念很容易推广至多元函数。
【例1】讨论下述函数在原点
是否取得极值。
(1)、
(2)、
(3)、
解:由它们的几何图形可知:
是开口向上的
旋转抛物面
,在
取得极小值；
是开口向下的
锥面
,在
取得极大值；
是
马鞍面
, 在
不取得极值。
2、函数取得极值的必要条件
【定理一】设函数
在点
具有偏导数
且取得极值,则它在该点的偏导数必为零,即
【证明】不妨设
在点
处有极大值。
依极值定义,点
的某一邻域内的一切点
适合不等式
特殊地,在该邻域内取
,而
的点,也应有不等式
这表明:一元函数
在
处取得极大值,因而必有
同理可证
【注一】当
时,
曲面在点处有切平面
此切平面平行于水平面
面
。
例如,
在点
取得极小值, 它在点
处,
其切平面为
即
此切平面就是(
面)。
使
同时成立的点
,称为函数
的
驻点
。
【注二】定理一表明,
可(
偏)导函数的极值点必为驻点
,反过来,
函数的驻点却不一定是极值点
。例如,
在点
不取得极值,但却是驻点。这告诉我们,驻点仅仅是函数
可疑的极值点
,要判断它是否真为极值点,需要另作判定。
【注三】偏导数
或
不存在的点
也是函数的可疑极值点。
例如,
在点
有极大值,但
不存在。
当然,
也不存在。
当然,定理一的结论也可推广至多元函数。
3、函数取得极值的充分条件
【定理二】设函数
在点
的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续的偏导数,又
,记
,
,
则函数在
处是否取得极值的条件如下
(1)、
时具有极值,且当
时有极大值,
当
时有极小值；
(2)、
时没有极值；
(3)、
时可能有极值,也可能没有极值,需另作判定。
对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:
【例2】求函数
的极值。
解:函数具有二阶连续偏导数, 故可疑的极值点只可能为驻点,
先解方程组
求出全部驻点为
再求二阶偏导数
在点
处,
函数取得极小值
；
在点
处,
函数不取得极值；
在点
处,
函数不取得极值；
在点
处,
函数取得极大值
。
二、多元函数的
最值
1、有界
闭
区域上连续函数的最值确定
如果二元函数
在
有界闭区域
上
连续
,则
在上必定取得最值。使函数取得
最值的点
既可能在
的内部,也可能在
的边界上。
若函数在
的内部取得最值,那未这个最值也是函数的极值。而函数取得极值的点是
的驻点或使
、
不存在的点。
若函数在
的边界上取得最值,可根据
的边界方程,将
化成定义在某个闭区间上的一元函数,进而利用一元函数求最值的方法求出最值。
综合上述讨论,有界闭区域
上的连续函数
最值求法如下:
(1)、求出在
的内部,使
,
同时为零的点及使
或
不存在的点；
(2)、计算出
在
的内部的
所有可疑极值点处的函数值
；
(3)、求出
在
的边界上的最值；
(4)、比较上述函数值的大小,最大者便是函数在上的最大值；最小者便是函数在上的最小值。
【例3】求二元函数
在矩形区域
上的最值。
解:
得驻点
,且
在边界
上,,
且
在边界
上,
, 则
在边界
上, , 则
,
则
；
在边界
上,
, 因
, 故
单调增加, 从而
。
比较上述讨论, 有
为最大值,
为最小值。
2、开区域
上函数的
最值确定
求函数
在开区域
上的最值十分复杂。
但是,当所遇到的实际问题, 据问题的性质可断定函数的最值一定在
上取得,而函数在
上又只有一个驻点, 那么就可以
肯定该驻点处的函数值就是函数在
上的最值。
【例4】某厂要用铁板做成一个体积为
立方米的有盖长方体水箱, 当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能用料最省?
令
解方程组得唯一驻点
,
据问题的实际背景, 水箱所用材料面积的最小值一定存在, 并在开区域
内取得,又函数在
内只有唯一的驻点, 因此, 可断定当
时, 取得最小值。
这表明: 当水箱的长、宽、高分别为
米时, 所用材料最省, 此时的最小表面积为
。
三、条件极值与拉格朗日乘数法
前面所讨论的极值问题,对于函数的自变量,除了限制它在定义域内之外,再无其它的约束条件,因此,我们称这类极值为
无条件极值
。
但是,在实际问题中,有时会遇到对函数的自变量还有附加限制条件的极值问题。
例如: 求体积为2而表面积最小的长方体尺寸。
若设长方体的长宽高分别为
,则其表面积为
这里除了
外,还需满足限制条件
。
象这类
自变量有附加条件的极值称为条件极值
。
有些实际问题,可将条件极值化为无条件极值,如上例；但对一些复杂的问题，条件极值很难化为无条件极值。因此,我们有必要探讨求条件极值的一般方法。
1、函数取得条件极值的必要条件
欲寻求函数
(1)
在限制条件
(2)
下的取得条件极值的条件。
函数若是在
处取得条件极值,那么它必满足方程(2),即
(3)
另外,方程(2)可确定一个隐函数
,将之代入(1)有
(4)
这样,函数(1)在
取得条件极值,也就相当于函数(4)在
处取得无条件极值。
据一元函数取得极值的必要条件有
(5)
由(2)式有
代入到第(5)式有
(6)
由上面的讨论可知,(3)与(6)便是函数在点
取得条件极值的必要条件,只是这一式子的形式不够工整,不便于记忆,为此,我们作适当的变形。
令
，有
这三个式子恰好是函数
的三个偏导数在点
的值。
2、拉格朗日乘数法
要求函数
在限制条件
下的可能极值点,可
先作拉氏函数
再解方程组
求出点
,这样求出的点
就是
可疑条件极值点
。
【注记】拉氏乘数法可推广到一般多元函数或限制条件多于一个的情形:
例如:求
在限制条件
下的极值。
作拉氏函数
解方程组
这样求出
就是可疑极值点的坐标。