参考题目
AcWing 524. 愤怒的小鸟
题目描述
Kiana 最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。
简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。
有一架弹弓位于
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
处，每次 Kiana 可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟， 小鸟们的飞行轨迹均为形如
y
=
a
x
2
+
b
x
y=ax^2+bx
y
=
a
x
2
+
b
x
的曲线，其中
a
,
b
a,b
a
,
b
是 Kiana 指定的参数，且必须满足
a
<
0
a<0
a
<
0
。
当小鸟落回地面（即
x
x
x
轴）时，它就会瞬间消失。
在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有
n
n
n
只绿色的小猪，其中第
i
i
i
只小猪所在的坐标为
(
x
i
,
y
i
)
(xi,yi)
(
x
i
,
y
i
)
。
如果某只小鸟的飞行轨迹经过了
(
x
i
,
y
i
)
(xi, yi)
(
x
i
,
y
i
)
，那么第 i 只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；
如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过
(
x
i
,
y
i
)
(xi, yi)
(
x
i
,
y
i
)
，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第
i
i
i
只小猪产生任何影响。
例如，若两只小猪分别位于
(
1
,
3
)
(1,3)
(
1
,
3
)
和
(
3
,
3
)
(3,3)
(
3
,
3
)
，Kiana 可以选择发射一只飞行轨迹为
y
=
−
x
2
+
4
x
y=−x^2+4x
y
=
−
x
2
+
4
x
的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。
而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。
这款神奇游戏的每个关卡对 Kiana 来说都很难，所以 Kiana 还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个这个游戏。
这些指令将在输入格式中详述。
假设这款游戏一共有
T
T
T
个关卡，现在 Kiana 想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。
由于她不会算，所以希望由你告诉她。
算法：
状态压缩DP：
O
(
T
(
n
3
+
n
2
n
)
)
O(T(n^3+n2^n))
O
(
T
(
n
3
+
n
2
n
)
)
抛物线问题
抛物线经过原点，所以
c
=
0
c=0
c
=
0
，那么只需要两个点就可以确定一条抛物线，下面考虑如何表示这个变量。
path数组
path[i][j]
表示编号为
i
的小猪和编号为
j
的的小猪所在的抛物线，变量的属性表示可消灭的小猪(编号)的二进制表示。
eg：
path[2][3] = 10111
表示由
2
号猪和
3
号猪确定的抛物线可以消灭
1, 2, 3, 5
号小猪。
f数组
状态表示：
f[i]
表示击败
i
状态下所需要的最少的小鸟数量。
状态计算：
第一步，找到当前
i
状态下没有被消灭的小猪的编号
x
。第二步，枚举可以消灭它的抛物线
path[x][j]
并更新状态 ：
f[i | path[x][j]] = min(f[i | path[x][j]], f[i] + 1)
。
C++代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define x first
#define y second
using namespace std;
// 使用pair存放点的坐标
typedef pair<double, double> PDD;
const int N = 18 + 5, M = 1 << 18;
const double eps = 1e-8;
int n, m;
PDD p[N];
int f[M];
int path[N][N];
bool cmp(double x, double y)
{
if (fabs(x - y) < eps) return true;
return false;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
int T;
cin >> T;
while (T -- )
{
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> p[i].x >> p[i].y;
// 多组输入，每次要清零一下path数组
memset(path, 0, sizeof path);
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
// 首先把只有一个猪的情况加进去
path[i][i] |= 1 << i;
for (int j = 0; j < n; j ++ )
{
double x1 = p[i].x, y1 = p[i].y;
double x2 = p[j].x, y2 = p[j].y;
// 两个猪的横坐标不能相同，因为切线斜率小于无穷大
if (cmp(x1, x2)) continue;
double a = (y1 / x1 - y2 / x2) / (x1 - x2);
double b = (y1 / x1 - a * x1);
// 开口向下，a要小于0
if (a >= 0) continue;
// 计算所有在线上的猪
for (int k = 0; k < n; k ++ )
{
double x = p[k].x, y = p[k].y;
if (cmp(a * x * x + b * x, y)) path[i][j] |= 1 << k;
}
}
}
// 要求最小值，初始化为最大值
memset(f, 0x3f, sizeof f);
// f[0]：没有任何一个猪被攻击时，小鸟数量为0
f[0] = 0;
// 从小到大循环，保证每一个大的状态是由前面的状态更新的
for (int i = 0; i < 1 << n; i ++ )
{
// 找到第一个没有被选中的小猪的编号
int x = 0;
for (int j = 0; j < n; j ++ )
{
if (i >> j & 1) continue;
x = j;
break;
}
// 用能攻击到x小猪的抛物线更新f数组
for (int k = 0; k < n; k ++ )
f[i | path[x][k]] = min(f[i | path[x][k]], f[i] + 1);
}
cout << f[(1 << n) - 1] << endl;
}
return 0;
}
参考资料
https://www.acwing.com/solution/content/16261/
https://www.acwing.com/solution/content/4028/