From : http://www.chinaunix.net/jh/23/926848.html
[color=Orange]问题描述[/color]
给定参数n（n为正整数），请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。
例如，5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1；10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2；20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的个数为4。
[color=Orange]计算公式[/color]
这里先给出其计算公式，后面给出推导过程。
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有：
当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。
[color=Orange]问题分析[/color]
显然，对于阶乘这个大数，我们不可能将其结果计算出来，再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。
我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数，若对其进行因式分解，那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里，每一个“0”必然和一 个因子“5”相对应。但请注意，一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”，因为还需要一个因子“2”，才能实现其一一对应。
我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论：
结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。
下面对这个结论进行证明：
(1)当n < 5时, 结论显然成立。
(2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * … * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数。
对于序列5k, 5(k-1), …, 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，并且 在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相对应。即，这里的k个因子 “5”与n！末尾的k个“0”一一对应。
我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。很容易利用(1)和迭代法，得出结论1。
上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有：
f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以，最终的计算公式为：
当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。
[color=Orange]计算举例[/color]
f(5!) = 1 + f(1!) = 1
f(10!) = 2 + f(2!) = 2
f(20!) = 4 + f(4!) = 4
f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249
…
终于写完了，困S了：）
yg
回复于：2007-04-21 16:35:30
也算递归吧
win_hate
回复于：2007-04-21 16:43:35
Pot_p(n!) = [n/p] + Pot_p([n/p]!)
递归使用这个公式就可以得到 Pot_p(n!) 的表达式。
可以参考柯召，孙琦的 《数论讲义》上册，数论函数部分。
tyc611
回复于：2007-04-21 16:48:41
引用：
原帖由
win_hate
于 2007-4-21 16:43 发表
Pot_p(n!) = [n/p] + Pot_p([n/p]!)
递归使用这个公式就可以得到 Pot_p(n!) 的表达式。
可以参考柯召，孙琦的 《数论讲义》上册，数论函数部分。
恩，我上面推出的公式就是这个，p为5吧？
哎，又吃了数字的亏了:em10:
手头没这本书，看能不能找到
圆点坐标
回复于：2007-04-21 16:53:09
我去年去学校招聘的时候，给应届生出了这个题目，只有2个人的想法靠近这个答案。
win_hate
回复于：2007-04-21 16:54:50
引用：
原帖由
tyc611
于 2007-4-21 16:48 发表
恩，我上面推出的公式就是这个，p为5吧？
哎，又吃了数字的亏了:em10:
手头没这本书，看能不能找到
是的。
我以前写过一个资料，复制到这里吧：
……
另一很精致的方法来自柯召的 “数论讲义”，把 ord_p 简记为 ord:
* ord(ab)=ord(a)+ord(b)
* ord(n!) = [n/p] + ord( [n/p]! )，因为:
ord(n!)
= ord(1) + … + ord(n)
= ord(p) + ord(2p) + … + ord([n/p]p)
= (ord(1) + ord(p)) + (ord(2)+ord(p)) + … + (ord([n/p])+ord(p))
= (ord(1) +1) +(ord(2)+1) +…+(ord([n/p])+1)
= [n/p]+ord( [n/p]! )
* [ [n/p]/p ] = [n/p^2]
若把 n 写成 p 进制表达，则上面这个式子很好理解
现在只要递归地调用 ord(n!) = [n/p] + ord( [n/p]! ) 就可以得到 ord(n!) 的表达式：
[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3] +….
awake
回复于：2007-04-21 18:23:54
赞排版。
ArXoR
回复于：2007-04-21 19:42:50
一个和此问题有点关系的有趣问题是:
给定质数p, 求杨辉三角第n行有多少个元素被p整除.
win_hate
回复于：2007-04-21 22:18:31
引用：
原帖由
ArXoR
于 2007-4-21 19:42 发表
一个和此问题有点关系的有趣问题是:
给定质数p, 求杨辉三角第n行有多少个元素被p整除.
嗯，柯召那本书的 pot 一节最后一个定理就是求 pot_p ( binomial(n, r) ) 的表达式.
ArXoR
回复于：2007-04-21 22:49:21
引用：
原帖由
win_hate
于 4/21/07 22:18 发表
嗯，柯召那本书的 pot 一节最后一个定理就是求 pot_p ( binomial(n, r) ) 的表达式.
pot_p ( binomial(n, r) ) 有close from? 我只知道级数表达的形式.
不过不妨碍我说的这个问题的解决, 呵呵.
win_hate
回复于：2007-04-22 00:19:43
引用：
原帖由
ArXoR
于 2007-4-21 22:49 发表
pot_p ( binomial(n, r) ) 有close from? 我只知道级数表达的形式.
不过不妨碍我说的这个问题的解决, 呵呵.
不是 close 的，一个关系式吧，在你给的这个题目用不上。
考虑 pot_p( binomial (n, r)),
[n/p^i] >= [ (n-r)/p^i] + [r/p^i]. 如果 p 不整除 binomial(n, r), 意味着对所有的 i，等号都成立.
设 n = (n_m … n_0 )_p, r = (r_s … r_0)_p, 等号成立要求
n_m … n_i = [n_m … n_i . n_{i-1} … n_0 – r_s … r_i . r_{i-1} … r_0] + r_s … r_i
= n_m … n_i + [0. n_{i-1} … n_0 – 0. r_{i-1} … r_0 ]
也就是
[0. n_{i-1} … n_0 – 0. r_{i-1} … r_0 ] = 0.
即对每个 i, n mod p^i >= r mod p^i，能被 p 整除的个数为
n + 1 – (n_m+1)…(n_0+1).
[
本帖最后由 win_hate 于 2007-4-22 00:31 编辑
]
ArXoR
回复于：2007-04-22 00:39:08
引用：
原帖由
win_hate
于 4/22/07 00:19 发表
不是 close 的，一个关系式吧，在你给的这个题目用不上。
考虑 pot_p( binomial (n, r)),
[n/p^i] >= [ (n-r)/p^i] + [r/p^i]. 如果 p 不整除 binomial(n, r), 意味着对所有的 i，等号都成立.
…
Bingo… 🙂
yuanchengjun
回复于：2007-04-22 09:38:33
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdint.h>
int main(void)
{
uint32_t count = 0;
uint32_t tmp;
uint32_t n;
for (n = 1; n <= 1000; n ++)
{
tmp = n;
while((0 == (tmp % 5)) && (tmp > 0))
{
tmp /= 5;
count ++;
}
}
printf(“%d”, count);
return 0;
}
tyc611
回复于：2007-04-22 16:35:44
win_hate和ArXoR兄的回复太深奥了，发晕中。。。
tyc611
回复于：2007-04-22 16:40:01
引用：
原帖由
yuanchengjun
于 2007-4-22 09:38 发表
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdint.h>
int main(void)
{
uint32_t count = 0;
uint32_t tmp;
uint32_t n;
for (n = 1; n <= 1000; n ++)
{
t …
你这个太慢了，看看我上面的示例计算1000时才几步，你的步进方式有问题，还有应该利用前面已经计算的结果
我写个上面公式的实现吧，收敛速度很快的：5^x = num / 5 * 5，x递归或者迭代次数
（一个递归，一个迭代）
#include <stdio.h>
int f_r(int num)
{
if (num < 5)
return 0;
else
return (num / 5) + f_r(num / 5);
}
int f_i(int num)
{
int count = 0;
for (; num >= 5; num /= 5)
count += num / 5;
return count;
}
int main(void)
{
int num = 1000;
printf("%d/n", f_r(num));
printf("%d/n", f_i(num));
return 0;
}
openq
回复于：2007-04-24 12:14:03
LZ的方法部可取，N很大时n/5的阶乘就溢出了！
tyc611
回复于：2007-04-24 12:20:51
引用：
原帖由
openq
于 2007-4-24 12:14 发表
LZ的方法部可取，N很大时n/5的阶乘就溢出了！
不好意思，可能是我公式没写好，其实根本就不计算阶乘的
看下我15楼给的算法实现就明白了
[
本帖最后由 tyc611 于 2007-4-24 12:22 编辑
]
yuanchengjun
回复于：2007-04-24 12:35:30
引用：
原帖由
圆点坐标
于 2007-4-21 16:53 发表
我去年去学校招聘的时候，给应届生出了这个题目，只有2个人的想法靠近这个答案。
要求太高了，只要计算结果正确，就应该算通过。
算法有很多，题目没有给出“最优算法”的信息，
如果那样，假设满分10分，凡正确的6分，剩下4分安计算复杂度给分，
最优的或者达到什么程度以上的10分。
计算机和数学不一样的，有时候要考虑具体运算环境。
1，计算机除了算法以外要考虑速度和时间。
2，有的时候，正确性和稳定性比优秀算法、高速更重要。
3，有的时候，多循环10次，比多一次递归调用节省时间。
运算速度：
1，公式。
2，枚举，只举出有效情况。不是枚举所有，再判断是否有效。
3，枚举，尽可能缩小有效情况范围。
4，枚举所有。最无奈的情况。
有的时候想不出来，有的时候时间有限，而且我不是大侠:-(
想不出公式就枚举；枚举的时候尽可能缩小范围；
如果不知到缩小范围条件，就枚举所有……
想这些东西需要一定的基础，还有时间的，……
[
本帖最后由 yuanchengjun 于 2007-4-24 12:53 编辑
]
ArXoR
回复于：2007-04-24 12:58:53
引用：
原帖由
yuanchengjun
于 4/24/07 12:35 发表
要求太高了，只要计算结果正确，就应该算通过。
算法有很多，题目没有给出“最优算法”的信息，
如果那样，假设满分10分，凡正确的6分，剩下4分安计算复杂度给分，
最优的或者达到什么程度以上的10分 …
这是在知道可以有更优算法的情况下才有这些选择…
连知道都不知道的话在应用规模很大的时候就完全没有办法了.
就像如果知道可以用Simplex Algorithm去做线性规划至少应该知道线性规划是有P类算法的.
而且基本上没法要求最优算法, 求解并证明最坏复杂度紧下界不是一件简单的事情.
babyfrog
回复于：2007-04-24 13:13:57
ACM里面这么写会time out否
yuanchengjun
回复于：2007-04-24 13:15:32
同意楼上，一般这些算法需要千锤百炼，好的软件公司会把类似这些东西沉淀下来，要用调一下就OK。
再帖一次，按照楼主算法。
#include <stdio.h>
#include <stdint.h>
int main(void)
{
uint32_t count;
uint32_t n;
n = 1000;
count = 0;
while (n > 4)
count += n /= 5;
printf(“%d/n”, count);
return 0;
}
[
本帖最后由 yuanchengjun 于 2007-4-24 13:17 编辑
]
slay78
回复于：2007-04-24 14:06:56
从2开始，阶乘的最后一位数字非零数字都是偶数，所以最后一位肯定不是5，那么这些偶数只有碰到5或者10乘起来才会再多一个0
thinkinnight
回复于：2007-04-24 15:16:19
引用：
原帖由
win_hate
于 2007-4-21 16:54 发表
是的。
我以前写过一个资料，复制到这里吧：
……
另一很精致的方法来自柯召的 “数论讲义”，把 ord_p 简记为 ord:
* ord(ab)=ord(a)+ord(b)
* ord(n!) = [n/p] + ord( [n …
= ord(1) + … + ord(n)
= ord(p) + ord(2p) + … + ord([n/p]p)
对于这一步不知道是怎么转的
win_hate
回复于：2007-04-24 17:32:55
引用：
原帖由
thinkinnight
于 2007-4-24 15:16 发表
= ord(1) + … + ord(n)
= ord(p) + ord(2p) + … + ord([n/p]p)
对于这一步不知道是怎么转的
如果 a 不是 p 的倍数，则 ord(a)=0。 把值为 0 的项去掉，剩下的就只有 pk 形式的了，再估计一下 k 的范围即可。
shhgs
回复于：2007-04-24 19:54:37
Py code
def zeros(n) :
result = 0
n = n / 5
while n != 0 :
result += n
n = n / 5
return result
That’s so simple. Primary school’s math problem.
thinkinnight
回复于：2007-04-24 21:31:30
哦，精巧
局外人
回复于：2007-04-24 22:10:22
(define (f n p r)
(let ((t (quotient n p)))
(if (> n 0) (f t p (+ r t)) r)))
shhgs
回复于：2007-05-02 11:44:41
10 = 2 * 5
由于在[1,n]中，2的因子远远多于5的因子，因此只要计算[1,n]当中有多少5的因子就能知道n!的末尾有多少连续的0了。
那么[1,n]当中有多少5的因子呢？
假设，现在有一个p， 使得 5 ** p <= n < 5 ** (p + 1) ，
则， [1, n]中，能整除5的数有 n / 5，整除25的数有 n / 25 , … , n / (5 ** p) — 这里的除号作整除讲
则 [1, n]中，5的因子共有 n / 5 + n / 25 + n / 125 + … + n / (5 **p) 个
只不过是小学数学竞赛的题目，用得着动用那么吓人的数学知识吗？
cjaizss
回复于：2007-05-02 12:44:27
太easy了，
int how_much_0(int i)
{
int ret=0;
while(i) {
i /= 5;
ret += i;
}
return ret;
}
局外人
回复于：2007-05-02 13:42:08
引用：
原帖由
shhgs
于 2007-5-2 11:44 发表
只不过是小学数学竞赛的题目，用得着动用那么吓人的数学知识吗？
…
同样一个题目，小学生有小学生的做法，大学生有大学生的做法，这是个层次的问题……
bitzilla
回复于：2007-05-11 15:56:56
殊途同归，
oopos
回复于：2007-10-20 20:05:01
不错，分析的很经典！！！
呵呵，我原来是这样想的，
把所得 的乘积分解质因式，则2的个数肯定比5多，而又只有：
2×5才能产生末0..
因此：
yinzi = 0 ;
for(; n 😉 {n/=i ; yinzi += n ;}
其中：i=5 ;
feiyang21687
回复于：2007-10-20 20:46:03
LZ的递归式麻烦了：
多少个零可以算包含有多少个5，多少个25，多少个5^3…
f(a!) = a / 5 + 2 * (a/25) + 3*(a/5^3) + …
win_hate
回复于：2007-11-05 18:57:46
引用：
原帖由
ArXoR
于 2007-4-21 19:42 发表 [url=http://bbs.chinaunix.net/redirect.php?goto=findpost&pid=6708836&ptid=926848]
一个和此问题有点关系的有趣问题是:
给定质数p, 求杨辉三角第n行有多少个元素被p整除.
我在工作中居然真的碰到了这个问题，:shock:
这个东西跟所谓的 lucas 公式有关，如果
则
我们老大给了个漂亮的证明，在这里共享一下：
在 F_p[z] 上展开 (1+z)^n, 有
对比一下两边的系数即可。