基本结构
集合
-
集合：集合是对象的一个无序的聚集，对象也称为集合的元素或成员
-
包含：元素a在集合A中表示为
s
a
∈
A
{s} a∈A
s
a
∈
A
- 不包含：元素a不在集合A中表示为
a
∉
A
a∉A
a
∈
/
A
- 两个集合A和B相等当且仅当它们拥有同样的元素，表示为
A
≡
B
A≡B
A
≡
B
- 空集：不包含任何元素的集合，表示为
∅
∅
∅
- 文氏图：用矩形表示全集U，包含所有的对象，在U内部用圆形或其他图形表示集合，用点表示集合中特定的元素，文氏图用来表示集合之间的关系
- 子集：集合A是集合B的子集当且仅当A的每个元素也是B的元素，表示为
A
⊆
B
A⊆B
A
⊆
B
- A不是B的子集表示为：
A
⊈
B
A⊈B
A
⊈
B
- 对于任意集合S,空集∅和S本身一定是集合S的子集，即
∅
⊆
S
∅⊆S
∅
⊆
S
S
⊆
S
S⊆S
S
⊆
S
- 有限集：集合S有n个不同的元素，其中n为非负整数
- 基数（大小）：n为集合S的基数，表示为
∣
S
∣
|S|
∣
S
∣
- 无限集：非有限集之外的集合
- 幂集：集合S的幂集是集合S本身和它所有子集组成的集合，表示为
P
(
s
)
P(s)
P
(
s
)
- 有序n元组：有序n元组(a₁，a₂，…，aₙ)是以a₁为第1个元素，a₂为第2个元素，…，aₙ为第n个元素的有序聚集
- 笛卡尔积：集合A和集合B的笛卡尔积用A×B表示，是所有序偶(a，b)的集合，其中a∈A，b∈B，即
A
×
B
=
{
(
a
,
b
)
∣
a
∈
A
∧
b
∈
B
}
A×B=\{(a,b)|a∈A∧b∈B\}
A
×
B
=
{
(
a
,
b
)
∣
a
∈
A
∧
b
∈
B
}
- 并集：同时包含集合A和集合B的所有元素，表示为A∪B，展开为
A
∪
B
=
{
x
∣
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
A∪B=\{x|x∈A∨x∈B\}
A
∪
B
=
{
x
∣
x
∈
A
∨
x
∈
B
}
- 交集：既在集合A又在集合B的元素，表示为A∩B，展开为
A
∩
B
=
{
x
∣
x
∈
A
∧
x
∈
B
}
A∩B=\{x|x∈A∧x∈B\}
A
∩
B
=
{
x
∣
x
∈
A
∧
x
∈
B
}
- 差集：属于集合A但不属于集合B的元素，表示为A-B，展开为
A
−
B
=
{
x
∣
x
∈
A
∧
x
∉
B
}
A-B=\{x|x∈A∧x∉B\}
A
−
B
=
{
x
∣
x
∈
A
∧
x
∈
/
B
}
-
补集：假设U为全集，集合A是U的子集，那么
A‾
\overline{A}
A
为集合A的补集，展开为
A
‾
=
{
x
∈
U
∣
x
∉
A
}
\overline{A}=\{x∈U|x∉A\}
A
=
{
x
∈
U
∣
x
∈
/
A
}
- 恒等律：
A
∩
U
=
A
A∩U=A
A
∩
U
=
A
A
∪
∅
=
A
A∪∅=A
A
∪
∅
=
A
- 支配律：
A
∪
U
=
U
A∪U=U
A
∪
U
=
U
A
∩
∅
=
∅
A∩∅=∅
A
∩
∅
=
∅
- 幂等律：
A
∪
A
=
A
A∪A=A
A
∪
A
=
A
A
∩
A
=
A
A∩A=A
A
∩
A
=
A
- 补律：
(
A
‾
)
‾
=
A
\overline{(\overline{A})}=A
(
A
)
=
A
- 交换律：
A
∪
B
=
B
∪
A
A∪B=B∪A
A
∪
B
=
B
∪
A
A
∩
B
=
B
∩
A
A∩B=B∩A
A
∩
B
=
B
∩
A
- 结合律：
A
∪
(
B
∪
C
)
=
(
A
∪
B
)
∪
C
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
A
∪
(
B
∪
C
)
=
(
A
∪
B
)
∪
C
A
∩
(
B
∩
C
)
=
(
A
∩
B
)
B
∩
C
A∩(B∩C)=(A∩B)B∩C
A
∩
(
B
∩
C
)
=
(
A
∩
B
)
B
∩
C
- 分配律：
A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
A
∪
(
B
∩
C
)
=
(
A
∪
B
)
∩
(
A
∪
C
)
A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A
∩
(
B
∪
C
)
=
(
A
∩
B
)
∪
(
A
∩
C
)
- 德·摩根律：
A
∩
B
‾
=
A
‾
∪
B
‾
\overline{A∩B}=\overline{A}∪\overline{B}
A
∩
B
=
A
∪
B
A
∪
B
‾
=
A
‾
∩
B
‾
\overline{A∪B}=\overline{A}∩\overline{B}
A
∪
B
=
A
∩
B
- 吸收律
A
∪
(
A
∩
B
)
=
A
A∪(A∩B)=A
A
∪
(
A
∩
B
)
=
A
A
∩
(
A
∪
B
)
=
A
A∩(A∪B)=A
A
∩
(
A
∪
B
)
=
A
- 互补律：
A
∪
A
‾
=
U
A∪\overline{A}=U
A
∪
A
=
U
A
∩
A
‾
=
∅
A∩\overline{A}=∅
A
∩
A
=
∅
函数
- 假设A和B是非空集合，f是A中元素到B中元素的一种对应关系，每个A中的元素都恰好对应B中的一个元素，则f称为函数，表示为
f
:
A
→
B
f:A\to B
f
:
A
→
B
-
如果
ff
f
是A到B的函数，则A是
ff
f
的定义域，如果
ff
f
(a)=b，则b是a的对应值，
ff
f
的值域是A中所有元素的对应值组成的集合 -
对于任意
x∈
A
x\in A
x
∈
A
(
f
1
+
f
2
)
(
x
)
=
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
(f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)
(
f
1
+
f
2
)
(
x
)
=
f
1
(
x
)
+
f
2
(
x
)
(
f
1
f
2
)
(
x
)
=
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
(f_1f_2)(x)=f_1(x)f_2(x)
(
f
1
f
2
)
(
x
)
=
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
-
单射函数（一对一函数）：一个函数是一对一的
-
满射函数：当且仅当对每个
b∈
B
b\in B
b
∈
B
有元素
a∈
A
a\in A
a
∈
A
使得
f(
a
)
=
b
f(a)=b
f
(
a
)
=
b
-
双射函数：既是单射函数也是满射函数的函数
-
反函数：
f−
1
f^{-1}
f
−
1
序列与求和
-
序列：
{a
n
}
\{a_n\}
{
a
n
}
-
几何级数：
a,
a
r
,
a
r
2
,
.
.
.
,
a
r
n
,
.
.
.
a,ar,ar^2,…,ar^n,…
a
,
a
r
,
a
r
2
,
.
.
.
,
a
r
n
,
.
.
.
，其中初始项
aa
a
和公比
rr
r
都是实数 -
算术级数：
a,
a
+
d
,
a
+
2
d
,
.
.
.
,
a
+
n
d
,
.
.
.
a,a+d,a+2d,…,a+nd,…
a
,
a
+
d
,
a
+
2
d
,
.
.
.
,
a
+
n
d
,
.
.
.
，其中初始项
aa
a
和公差
dd
d
都是实数 -
求和记号：
∑i
=
m
n
a
i
\sum_{i=m}^na_i
∑
i
=
m
n
a
i
,表示
am
+
a
m
+
1
+
.
.
.
+
a
n
a_m+a_{m+1}+…+a_n
a
m
+
a
m
+
1
+
.
.
.
+
a
n
集合的基数
- 集合A和B有相同的基数，写成
∣
A
∣
≡
∣
B
∣
|A|\equiv|B|
∣
A
∣
≡
∣
B
∣
-
如果
AA
A
和
BB
B
是可数集合，则
A⋃
B
A\bigcup B
A
⋃
B
也是可数集合
矩阵
- 矩阵：矩形状的数组
- 方阵：行数和列数相等的矩阵
-
矩阵和：令
A=
[
a
i
j
]
A=[a_{ij}]
A
=
[
a
i
j
]
和
B=
[
b
i
j
]
B=[b_{ij}]
B
=
[
b
i
j
]
为m×n矩阵，A和B的和记为A+B
A
+
B
=
[
a
i
j
+
b
i
j
]
A+B=[a_{ij}+b_{ij}]
A
+
B
=
[
a
i
j
+
b
i
j
]
-
矩阵积：令A为m×k矩阵，B为k×n矩阵，A和B的乘积记为AB，是一个m×n矩阵，其第（i，j）元素等于A的第i行和B的第J列对应元素的乘积之和，如果
AB
=
[
c
i
j
]
AB=[c_{ij}]
A
B
=
[
c
i
j
]
，则
c
i
j
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
.
.
.
+
a
i
k
b
k
j
c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+…+a_{ik}b_{kj}
c
i
j
=
a
i
1
b
1
j
+
a
i
2
b
2
j
+
.
.
.
+
a
i
k
b
k
j
-
单位矩阵：n阶单位矩阵是n×n矩阵
In
=
[
a
i
j
]
I_n=[a_{ij}]
I
n
=
[
a
i
j
]
，其中
ai
j
=
1
a_{ij}=1
a
i
j
=
1
如果i=j，
ai
j
=
0
a_{ij}=0
a
i
j
=
0
如果i≠j，表示为
(
1
0
⋯
0
0
1
⋯
0
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
1
)
\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}
⎝
⎜
⎜
⎜
⎛
1
0
⋮
0
0
1
⋮
0
⋯
⋯
⋯
0
0
⋮
1
⎠
⎟
⎟
⎟
⎞
- 一个矩阵乘以一个合适的单位矩阵不会改变该矩阵，若A是一个m×n矩阵，则
A
I
n
=
I
m
A
=
A
AI_n=I_mA=A
A
I
n
=
I
m
A
=
A
-
转置矩阵：令
A=
[
a
i
j
]
A=[a_{ij}]
A
=
[
a
i
j
]
为m×n矩阵，A的转置记为
AT
A^T
A
T
,是通过交换A的行和列所得到的n×m矩阵，也就是如果
AT
=
[
b
i
j
]
A^T=[b_{ij}]
A
T
=
[
b
i
j
]
，则
bi
j
=
a
j
i
b_{ij}=a_{ji}
b
i
j
=
a
j
i
-
对称：假设A为方阵并且
A=
A
T
A=A^T
A
=
A
T
,则，A是对称的 -
0-1矩阵：矩阵中元素只包含0和1
-
0-1矩阵的并：若
A⋁
B
A\bigvee B
A
⋁
B
，则（i，j）元素为
ai
j
⋁
b
i
j
a_{ij}\bigvee b_{ij}
a
i
j
⋁
b
i
j
-
0-1矩阵的交：若
A⋀
B
A\bigwedge B
A
⋀
B
，则（i，j）元素为
ai
j
⋀
b
i
j
a_{ij}\bigwedge b_{ij}
a
i
j
⋀
b
i
j
-
0-1矩阵的布尔积：
A⨀
B
A\bigodot B
A
⨀
B
,计算方法类似矩阵的普通乘积，但是要用
⋁\bigvee
⋁
代替加法，用
⋀\bigwedge
⋀
代替乘法 -
0-1矩阵的布尔幂：A的r次布尔幂是r个A的布尔积，记为
A[
r
]
A^{[r]}
A
[
r
]
A为方阵并且
A
=
A
T
A=A^T
A
=
A
T
,则，A是对称的
- 0-1矩阵：矩阵中元素只包含0和1
-
0-1矩阵的并：若
A⋁
B
A\bigvee B
A
⋁
B
，则（i，j）元素为
ai
j
⋁
b
i
j
a_{ij}\bigvee b_{ij}
a
i
j
⋁
b
i
j
-
0-1矩阵的交：若
A⋀
B
A\bigwedge B
A
⋀
B
，则（i，j）元素为
ai
j
⋀
b
i
j
a_{ij}\bigwedge b_{ij}
a
i
j
⋀
b
i
j
-
0-1矩阵的布尔积：
A⨀
B
A\bigodot B
A
⨀
B
,计算方法类似矩阵的普通乘积，但是要用
⋁\bigvee
⋁
代替加法，用
⋀\bigwedge
⋀
代替乘法 -
0-1矩阵的布尔幂：A的r次布尔幂是r个A的布尔积，记为
A[
r
]
A^{[r]}
A
[
r
]