一. 简单例子

假设我们想对函数 y=2x⊤x 关于列向量 x 求导。首先，我们创建变量x并为其分配一个初始值。

import torch

x = torch.arange(4.0)
x

tensor([0., 1., 2., 3.])

requires_grad_(True)储存梯度避免内存耗尽，默认是none。

x.requires_grad_(True)  # 等价于 `x = torch.arange(4.0, requires_grad=True)`
x.grad  # 默认值是None

计算y

y = 2 * torch.dot(x, x)
y

tensor(28., grad_fn=<MulBackward0>)

通过调用反向传播函数来自动计算y关于x每个分量的梯度，并打印这些梯度。

y.backward()
x.grad

tensor([ 0.,  4.,  8., 12.])

验证我们想要的梯度是否正确计算。

x.grad == 4 * x

tensor([True, True, True, True])

计算x的另一个函数。

# 在默认情况下，PyTorch会累积梯度，我们需要清除之前的值
x.grad.zero_()
y = x.sum()
y.backward()
x.grad

tensor([1., 1., 1., 1.])

二. 非标量变量的反向传播

当y不是标量时，向量y关于向量x的导数的最自然解释是一个矩阵。对于高阶和高维的y和x，求导的结果可以是一个高阶张量。

# 对非标量调用`backward`需要传入一个`gradient`参数，该参数指定微分函数关于`self`的梯度。在我们的例子中，我们只想求偏导数的和，所以传递一个1的梯度是合适的
x.grad.zero_()
y = x * x
# 等价于y.backward(torch.ones(len(x)))
y.sum().backward()
x.grad

tensor([0., 2., 4., 6.])

三. 分离计算

有时，我们希望将某些计算移动到记录的计算图之外。 例如，假设y是作为x的函数计算的，而z则是作为y和x的函数计算的。 现在，想象一下，我们想计算z关于x的梯度，但由于某种原因，我们希望将y视为一个常数，并且只考虑到x在y被计算后发挥的作用。

在这里，我们可以分离y来返回一个新变量u，该变量与y具有相同的值，但丢弃计算图中如何计算y的任何信息。换句话说，梯度不会向后流经u到x。因此，下面的反向传播函数计算z=u

x关于x的偏导数，同时将u作为常数处理，而不是z=x

x*x关于x的偏导数。

x.grad.zero_()
y = x * x
u = y.detach()
z = u * x

z.sum().backward()
x.grad == u

tensor([True, True, True, True])

由于记录了y的计算结果，我们可以随后在y上调用反向传播，得到y=x

x关于的x的导数，这里是2

x。

x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x

tensor([True, True, True, True])

四. 控制流的梯度计算

使用自动求导的一个好处是，即使构建函数的计算图需要通过Python控制流（例如，条件、循环或任意函数调用），我们仍然可以计算得到的变量的梯度。在下面的代码中，while循环的迭代次数和if语句的结果都取决于输入a的值。

def f(a):
    b = a * 2
    while b.norm() < 1000:
        b = b * 2
    if b.sum() > 0:
        c = b
    else:
        c = 100 * b
    return c

计算梯度

a = torch.randn(size=(), requires_grad=True)
d = f(a)
d.backward()

我们现在可以分析上面定义的f函数。请注意，它在其输入a中是分段线性的。换言之，对于任何a，存在某个常量标量k，使得f(a)=k*a，其中k的值取决于输入a。因此，d/a允许我们验证梯度是否正确。

a.grad == d / a

tensor(True)