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一、左式堆存在的意义

除了标准的插入和删除操作，堆结构在实际应用中的另一个常见的操作是

合并

，即将堆A和堆B重新组织成一个堆。若采用最基本的完全二叉堆数据结构，其最高效的实现策略是采用Floyd建堆算法将堆A和堆B直接重构成一个新堆，但是该算法的时间复杂度为O(n)，这种性能在实际中不让人满意，而左式堆结构能保证在合并操作中只需要调整很少的点，所以能保证合并操作的时间复杂度低至O(logn)。而且基于合并操作，其插入删除操作也可以足够的高效，均为O(logn)。

左式堆： 左式堆(leftist heap)是优先级队列的另一种实现方式，可高效地支持堆合并操作。其基本思路：

在保持堆序性的前提下附加新的条件，使得在堆的合并过程中，只需调整很少量的节点，具休地，需参与调整的节点不超过O(logn)个，故可达到极高的效率

。

二、左式堆的结构

左式堆的整体结构呈单侧倾斜状，其中节点的分布均偏向左侧

，也链是说，

左式堆将不再如完全二又堆那样满足结构性，但事实上这无伤大雅，毕竟堆序性才是堆结构的关键条件，而结构性只不过是堆的一项附加条件

，正如稍后将要看到的,在将平衡性替换为左倾性之后，左式推结构的merge()操作乃至insert()和delMax()操作均可以高效地实现。

左式堆的为实现倾斜，借鉴了AVL树和红黑树技巧，为各节点引入“空节点路径长度”指标，并依此确定相关算法的执行方向。

空节点路径长度(nurl path length)

：记作npl(x)，若x为外部节点,则约定 npl(x) = npl (null) =0，反之若x为内部节点，则npl (x)可递归地定义为：

npl(x) =1 + min(npl(lc(x))，npl(rc(x))

也就是说，节点x的npl取决于左右孩子npl值中的小者。

对照上图不难验证：

npl(x)既等于x到外部节点的最近距(该指标由此得名) ，同时也等于以x为根的最大满子树(图中矩形框)的高度

。

结构上的约束：

左式堆是处处满足“左倾性”的二叉堆，即任一内部节点x都满足：

npl(lc(x))>=npl(rc(x))

也就是说，就npl指标而言，任一内部节点的左孩子都不小于其右孩子，所以左式堆中每个节点的npl值都仅取决于其右孩子。

最右侧通路：

从x出发沿右侧分支一直前行直至空节点，经过的通路称作其最右侧通路(rightmost path)

，记作rPath(x)，由“各节点npl值均决定与其右孩子”这一事实不难发现，每个节点的npl值，应恰好等于其最右侧通路的长度。

事实上，在包含n个节点的左式堆中，最右侧通路不会长于O(logn)（可由极限情况–满二叉树的节点数和高度之间的关系证明）

。最右侧通路的最大长度限制确定了合并操作的时间复杂度的上界。

三、左式堆的操作

(1) 合并

假设待合并的左式堆如下左图所示，分别以a和b为堆顶，且不失一般性地 a >= b。

为合并两个堆，

可

递归

地将a的右子堆和堆b进行合并，然后将合并的子堆作为a的右子堆。为保证依然满足左倾性条件，最后还需要比较a左、右孩子的npl值，如有必要还要讲二者交换

，以保证左孩子的npl值不低于右孩子。

(a) 递归深入

对于两个需要合并的子堆，首先对堆顶进行优先级(关键码)的比较，把大者a作为左侧，小者b放在右侧(这样合并成的子堆才能作为a的孩子，因为a最大)，大者的右子堆ar和右侧的堆b进行合并(过程和前述过程一样)，合成的新堆作为a的右子堆，如此迭代向下，直至一侧堆为空。

(b) 递归返回

当(a)步骤结束后，在结构上两个堆已经合并完成，但为了保证左倾性依然处处满足，在沿左侧链逐级递归返回的过程中，还需及时比较各对左、右兄弟的npl值，如有必要还应令其交换位置。

复杂度分析： 递归只可能发生于两个待合并推的最右侧通路上。若待合并堆的规模分别为n和m，则其两条量右侧通路的长度则不会超过O(logn)和O(logm)，因此合并算法的总体运行时间应不超过：

O(logn) +O(logm) = O(log(max(n, m)))

(2) 删除（基于合并）

在摘除e之后, 左右子堆即可被视作为两个彼此独立的将合井的堆，于是，只需通过合并操作将它们合并起来，则其效果完全等间于一次常规的删除操作。

复杂度分析：

时间成本主要是对合并操作的调用，总体不超过O(logn)。

(3) 插入（基于合并）

拟将元素e插入堆中，只要将x也视作仅含单个节点的堆，则通过合并操作将两个堆合并即可，其效果完全等同于完成了一次词条插入操作。

复杂度分析：

时间成本主要是对合并操作的调用，总体不超过O(logn)。

四、左式堆的实现

由于左式堆已经不满足结构性，所以不能使用向量作为底层容器，故采用二叉树的这种灵活的数据结构，所以左式堆类PQ_LeftHeap由二叉树类binTree和优先级队列PQ多重继承得到。

(1) PQ_LeftHeap.h

#pragma once
#include"PQ.h"
#include"binTree.h"

#define lt(a,b) ((a)<(b))    //比较大小


/*左式堆是基于二叉树结构的*/
template<typename T> class PQ_LeftHeap :public PQ<T>, public binTree<T>
{
public:
	//构造函数
	PQ_LeftHeap() {}
	PQ_LeftHeap(T* E, int n);

	void insert(T e);  //按照比较器确定的优先级次序插入元素
	T getMax();   //取出优先级最高的元素
	T delMax();   //删除优先级最高的元素
	static binNode<T>* merge(binNode<T>* a, binNode<T>* b);   //合并以a和b为根节点的左式堆
};

template<typename T> PQ_LeftHeap<T>::PQ_LeftHeap(T* E, int n)
{
	for (int i = 0; i < n; i++)   //直接插入
		insert(E[i]);
}

template<typename T> binNode<T>* PQ_LeftHeap<T>::merge(binNode<T>* a, binNode<T>* b)
{
	if (!a) return b;   //递归基
	if (!b) return a;   
	if (lt(a->data, b->data))   //保证左节点大
		swap(a, b);
	a->rc = merge(a->rc, b);   //将a的右子堆与b合并
	a->rc->parent = a;
	if (!a->lc || a->lc->nlp < a->rc->npl)   //若a的左孩子不存在或者a的左子树的npl比右子树的小，则转换左右子树
		swap(a->lc, a->rc);
	a->npl = a->rc ? a->rc->npl + 1 : 1;  //更新a的npl
	return a;   //返回合并后的堆顶
}

template<typename T> T PQ_LeftHeap<T>::delMax() 
{
	binNode<T>* lHeap = _root->lc;   //左子堆
	binNode<T>* rHeap = _root->rc;   //右子堆
	T e = _root->date;
	delete _root;
	_size--;
	_root = merge(lHeap, rHeap);   //原左右子堆合并
	if (_root)
		_root->parent = nullptr;
	return e;
}

template<typename T> T PQ_LeftHeap<T>::getMax()
{
	return _root->date;
}

template<typename T> void PQ_LeftHeap<T>::insert(T e)
{
	binNode<T>* v = new binNode<T>(e);  //为e创建一个二叉树节点
	_root = merge(_root,v);  //通过合并完成插入
 	_root->parent = nullptr;
	_size++;
}