高数线代知识点目录

泰勒展开

…

(

)

−

…

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−

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−

…

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)

(

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−

…

(

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)

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)

(

)

−

…

(

−

)

(

)

(

)

(

)

(

−

)

…

(

−

)

…

(

−

)

(

)

(

)

−

(

)

(

)

e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+…+\frac{x^n}{n!}+O(x^n)\\ sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-…+\frac{(-1)^nx^{2n-1}}{(2n+1)!}+O(x^{2n+1})\\ cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-…+\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+O(x^{2n})\\ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-…+(-1)^nx^n+O(x^n)\\ ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-…+\frac{(-1)^nx^{n}}{(n)!}+O(x^n)\\ (1+x)^{\alpha}=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+…+\frac{\alpha(\alpha-1)…(\alpha-n+1)}{n!}x^n+O(x^n)\\ tanx=x+\frac 13x^3+O(x^3)\\ arctanx=x-\frac 13x^3+\frac 15x^5+O(x^6)\\ arcsinx=x+\frac 16x^3+O(x^3)\\

$e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots + \frac{x ^{n}}{n !} + O (x^{n}) s in x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n - 1}}{( 2 n + 1 )!} + O (x^{2 n + 1}) cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{2 n}}{( 2 n )!} + O (x^{2 n}) \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - \dots + (- 1)^{n} x^{n} + O (x^{n}) l n (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots + \frac{( - 1 ) ^{n} x ^{n}}{( n )!} + O (x^{n}) (1 + x)^{α} = 1 + αx + \frac{α ( α - 1 )}{2 !} x^{2} + \dots + \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n} + O (x^{n}) t an x = x + \frac{1}{3} x^{3} + O (x^{3}) a rc t an x = x - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} + O (x^{6}) a rcs in x = x + \frac{1}{6} x^{3} + O (x^{3})$

不定积分

(

)

\int \frac {dx}{\sqrt {x^2+a^2}}=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C

$\int \frac{d x}{x ^{2} + a ^{2}} = l n (x + x^{2} + a^{2}) + C$

小知识点

需要特别记住的奇函数

(

)

是关于

的奇函数

ln(x+\sqrt{1+x^2})是关于x的奇函数

$l n (x + 1 + x^{2}) 是关于 x 的奇函数$

等比数列/等差数列

−

等比数列求和公式：

−

(

−

)

−

等差数列通项：

(

−

)

等差数列求和公式：

(

)

(

−

)

等比数列通项：a_n=a_1q^{n-1}\\ 等比数列求和公式：S_n=\frac{a_1-a_nq}{1-q},S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\\ 等差数列通项：a_n=a_1+(n-1)d\\ 等差数列求和公式：S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2},S_n=na_1+\frac{n(n-1)d}{2}

$等比数列通项： a_{n} = a_{1} q^{n - 1} 等比数列求和公式： S_{n} = \frac{a _{1} - a _{n} q}{1 - q}, S_{n} = \frac{a _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q} 等差数列通项： a_{n} = a_{1} + (n - 1) d 等差数列求和公式： S_{n} = \frac{( a _{1} + a _{n} ) n}{2}, S_{n} = n a_{1} + \frac{n ( n - 1 ) d}{2}$

解题反例总结

的函数

(

)

−

递减

(

)

递减

(

)

(

)

递增

;

一阶导大于原函数，都大于

即

′

(

)

(

)

(

)

二阶导大于0的函数:f(x)=-lnx<递减>,\ f(x)=\frac 1x<递减>,\ f(x)=x^2(x>0)<递增>;\\ 一阶导大于原函数，都大于0即f'(x)>f(x)>0:f(x)=e^{2x}

$二阶导大于 0 的函数 : f (x) = - l n x < 递减 >, f (x) = \frac{1}{x} < 递减 >, f (x) = x^{2} (x > 0) < 递增 >; 一阶导大于原函数，都大于 0 即 f^{'} (x) > f (x) > 0 : f (x) = e^{2 x}$

导数定义与计算

某一点的可导性，多利用导数定义

分母趋向0，极限要存在，分子也要趋向0，通常用于导数定义式中确定未知量

函数连续可导——>函数可导，导函数连续

取大头

…

则

lim

⁡

−

∞

…

{

…

}

例如：

lim

⁡

−

∞

;

若a_1,a_2,a_3…a_n>0,则\lim_{x->\infty}\sqrt[n]{a_1+a_2+a_3+…a_n}=\sqrt[n]{max\{a_1,a_2,a_3,…a_n\}}\\ 例如：\lim_{x->\infty}\sqrt[n]{2^3+3^3}=3;

$若 a_{1}, a_{2}, a_{3} \dots a_{n} > 0, 则 x - > \infty lim n a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots a_{n} = n ma x {a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots a_{n}} 例如： x - > \infty lim n 2^{3} + 3^{3} = 3;$

绝对值函数的可导性，找绝对值函数部分的零点

判断抽象函数可导性，利用条件凑导数定义式

抽象函数的极限计算，慎用洛必达

有理函数高阶导数计算，先拆分再求导

正整数幂函数乘以其他函数求高阶导数，考虑莱布尼茨法则

常见函数的高阶导数，泰勒公式帮你忙

导数的应用

可导函数的单调性与极值，求导判断正负

隐函数的极值问题，一阶不够二阶来凑

二阶导大于0，极小值；二阶导小于0，极大值。

多项式函数的极值点判别，求零点

：令

(

)

找出它所有零点

：观察零点的重数，偶数重的零点是极值点

如

是

(

−

)

(

−

)

的极值点

：相邻两个零点之间一定有且仅有一个极值点

：把零点中的极值点以及非零点之间的极值点的个数加起来就结束了。

step1：令f(x)=0找出它所有零点\\ step2：观察零点的重数，偶数重的零点是极值点,如x=2是x^2(x-1)^3(x-2)^4的极值点\\ step3：相邻两个零点之间一定有且仅有一个极值点\\ step4：把零点中的极值点以及非零点之间的极值点的个数加起来就结束了。

$s t e p 1 ：令 f (x) = 0 找出它所有零点 s t e p 2 ：观察零点的重数，偶数重的零点是极值点, 如 x = 2 是 x^{2} (x - 1)^{3} (x - 2)^{4} 的极值点 s t e p 3 ：相邻两个零点之间一定有且仅有一个极值点 s t e p 4 ：把零点中的极值点以及非零点之间的极值点的个数加起来就结束了。$

多项式函数的拐点，求零点和驻点

：令

(

)

找出它所有零点

：观察零点的重数，超过

重且重数为奇数的一定是拐点

如

是

(

−

)

(

−

)

的拐点

：找驻点。首先零点重数超过

的一定是驻点，比如

，

是

(

−

)

(

−

)

的驻点，

然后相邻两个零点之间一定有且仅有一个驻点

和

之间有一个驻点

和

之间有一个驻点

：把函数所有的驻点排序，比如

(

−

)

(

−

)

有驻点

。

：两个驻点之间一定有且仅有一个拐点，比如驻点

之间有

个拐点

加上一开始的

是拐点，函数

(

−

)

(

−

)

一共有

个拐点

step1：令f(x)=0找出它所有零点\\ step2：观察零点的重数，超过1重且重数为奇数的一定是拐点,如x=1是x(x-1)^3(x-2)^4的拐点\\ step3：找驻点。首先零点重数超过1的一定是驻点，比如1，2是x(x-1)^3(x-2)^4的驻点，\\然后相邻两个零点之间一定有且仅有一个驻点,0和1之间有一个驻点x_1,1和2之间有一个驻点x_2\\ step4：把函数所有的驻点排序，比如x(x-1)^3(x-2)^4有驻点x_1,1,x_2,2。\\ step5：两个驻点之间一定有且仅有一个拐点，比如驻点x_1,1,x_2,2之间有3个拐点\\加上一开始的1是拐点，函数x(x-1)^3(x-2)^4一共有4个拐点

$s t e p 1 ：令 f (x) = 0 找出它所有零点 s t e p 2 ：观察零点的重数，超过 1 重且重数为奇数的一定是拐点, 如 x = 1 是 x (x - 1)^{3} (x - 2)^{4} 的拐点 s t e p 3 ：找驻点。首先零点重数超过 1 的一定是驻点，比如 1 ， 2 是 x (x - 1)^{3} (x - 2)^{4} 的驻点，然后相邻两个零点之间一定有且仅有一个驻点, 0 和 1 之间有一个驻点 x_{1}, 1 和 2 之间有一个驻点 x_{2} s t e p 4 ：把函数所有的驻点排序，比如 x (x - 1)^{3} (x - 2)^{4} 有驻点 x_{1}, 1, x_{2}, 2 。 s t e p 5 ：两个驻点之间一定有且仅有一个拐点，比如驻点 x_{1}, 1, x_{2}, 2 之间有 3 个拐点加上一开始的 1 是拐点，函数 x (x - 1)^{3} (x - 2)^{4} 一共有 4 个拐点$

定积分的几何应用

平面图形的面积

题目条件是一个函数表达式，直接对函数绝对值使用定积分

题目条件是一个参数方程，看作隐函数积分

题目条件是一个极坐标方程，平面图形为“扇形”，套用面积公式

旋转体体积

一般函数曲线绕与自变量坐标轴平行的直线旋转，采用叠片法

(

)

(

≤

)

绕

轴旋转为例，那么微元可以选取为

(

)

因此旋转体体积就是：

∫

(

)

绕直线

旋转的体积为：

∫

[

(

)

−

]

以y=f(x)(a\le x\le b)绕x轴旋转为例，那么微元可以选取为\pi f^2(x)dx,因此旋转体体积就是：\\ \int_a^b\pi f^2(x)dx\\ 绕直线y=y_0旋转的体积为：\int_a^b\pi [f(x)-y_0]^2dx

$以 y = f (x) (a \leq x \leq b) 绕 x 轴旋转为例，那么微元可以选取为 π f^{2} (x) d x, 因此旋转体体积就是： \int_{a}^{b} π f^{2} (x) d x 绕直线 y = y_{0} 旋转的体积为： \int_{a}^{b} π [f (x) - y_{0}]^{2} d x$

一般函数曲线绕与自变量坐标轴垂直的直线旋转，采用柱壳法

(

)

(

≤

)

绕

轴旋转为例，那么微元可以选取为

∣

(

)

∣

因此旋转体体积就是：

∫

∣

(

)

∣

若是绕

旋转

∫

∣

−

∣

(

)

∣

以y=f(x)(a\le x\le b)绕y轴旋转为例，那么微元可以选取为2\pi |x| |f(x)|dx,因此旋转体体积就是：\\ \int_a^b 2\pi |x| |f(x)|dx\\若是绕x=x_0旋转,V=\int_a^b 2\pi |x-x_0| |f(x)|dx\\

$以 y = f (x) (a \leq x \leq b) 绕 y 轴旋转为例，那么微元可以选取为 2 π ∣ x ∣∣ f (x) ∣ d x, 因此旋转体体积就是： \int_{a}^{b} 2 π ∣ x ∣∣ f (x) ∣ d x 若是绕 x = x_{0} 旋转, V = \int_{a}^{b} 2 π ∣ x - x_{0} ∣∣ f (x) ∣ d x$

曲线的弧长

题目条件是一个函数表达式，求弧长

(

)

′

(

)

弧长：

∫

′

(

)

弧微分形式为：ds=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx=\sqrt{1+f’^2(x)}dx\\ 弧长：\int_a^bds=\int_a^b\sqrt{1+f’^2(x)}dx\\

$弧微分形式为： d s = 1 + (\frac{d y}{d x})^{2} d x = 1 + f^{'2} (x) d x 弧长： \int_{a}^{b} d s = \int_{a}^{b} 1 + f^{'2} (x) d x$

题目条件是一个参数方程，求弧长

′

(

)

′

(

)

弧长：

∫

′

(

)

′

(

)

弧微分形式为：ds=\sqrt{x’^2(t)+y’^2(t)}dt\\ 弧长：\int_a^bds=\int_a^b\sqrt{x’^2(t)+y’^2(t)}dt\\

$弧微分形式为： d s = x^{'2} (t) + y^{'2} (t) d t 弧长： \int_{a}^{b} d s = \int_{a}^{b} x^{'2} (t) + y^{'2} (t) d t$

题目条件是一个极坐标方程，求弧长

(

)

(

)

(

)

弧长：

∫

(

)

弧微分形式为：ds=\sqrt{(\frac{dx}{d\theta})^2+(\frac{dy}{d\theta})^2}d\theta=\sqrt{(\frac{dr}{d\theta})^2+r^2}d\theta\\ 弧长：\int_\alpha^\beta ds=\int_\alpha^\beta\sqrt{(\frac{dr}{d\theta})^2+r^2}d\theta\\

$弧微分形式为： d s = (\frac{d x}{d θ})^{2} + (\frac{d y}{d θ})^{2} d θ = (\frac{d r}{d θ})^{2} + r^{2} d θ 弧长： \int_{α}^{β} d s = \int_{α}^{β} (\frac{d r}{d θ})^{2} + r^{2} d θ$

曲线的曲率

题目条件是一个函数表达式，求曲率

和

具有函数关系

(

)

(

≤

)

则

′

那么

′

则曲率公式为

∣

′

∣

(

′

)

根据这个公式可以得出，在一个点相切的两条曲线如果曲率相等，那么二阶导数的绝对值相等

曲线方程中的变量具有函数关系，即当y和x具有函数关系y=f(x)(a\le x\le b). \\ 则tan\theta=y’,那么d\theta=\frac{y”}{1+y’^2}dx,则曲率公式为K=|\frac{d\theta}{ds}|=\frac{|y”|}{(1+y’^2)^\frac 32}.\\ 根据这个公式可以得出，在一个点相切的两条曲线如果曲率相等，那么二阶导数的绝对值相等

$曲线方程中的变量具有函数关系，即当 y 和 x 具有函数关系 y = f (x) (a \leq x \leq b) . 则 t an θ = y^{'}, 那么 d θ = \frac{y ^{''}}{1 + y ^{'2}} d x, 则曲率公式为 K = ∣ \frac{d θ}{d s} ∣ = \frac{∣ y ^{''} ∣}{( 1 + y ^{'2} ) ^{\frac{3}{2}}} . 根据这个公式可以得出，在一个点相切的两条曲线如果曲率相等，那么二阶导数的绝对值相等$

题目条件是一个参数方程，求曲率

和

具有参数关系

{

(

)

(

)

(

≤

)

则

′

那么

′

−

′

则曲率公式为

∣

′

−

′

(

′

)

根据这个公式可以得出，在一个点相切的两条曲线如果曲率相等，那么二阶导数的绝对值相等

曲线方程中的变量具有函数关系，即当y和x具有参数关系\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}(a\le t\le b). \\ 则tan\theta=\frac {y’}{x’},那么d\theta=\frac{y”x’-x”y’}{x’^2+y’^2}dx,则曲率公式为K=|\frac{d\theta}{ds}|=\frac{y”x’-x”y’}{(x’^2+y’^2)^\frac 32}.\\ 根据这个公式可以得出，在一个点相切的两条曲线如果曲率相等，那么二阶导数的绝对值相等

$曲线方程中的变量具有函数关系，即当 y 和 x 具有参数关系 {x = x (t) y = y (t) (a \leq t \leq b) . 则 t an θ = \frac{y ^{'}}{x ^{'}}, 那么 d θ = \frac{y ^{''} x ^{'} - x ^{''} y ^{'}}{x ^{'2} + y ^{'2}} d x, 则曲率公式为 K = ∣ \frac{d θ}{d s} ∣ = \frac{y ^{''} x ^{'} - x ^{''} y ^{'}}{( x ^{'2} + y ^{'2} ) ^{\frac{3}{2}}} . 根据这个公式可以得出，在一个点相切的两条曲线如果曲率相等，那么二阶导数的绝对值相等$

与曲率圆有关的问题

曲率圆与曲线相切，半径为曲线在切点处的曲率半径，凹凸性与曲线在该切点的凹凸性一致，利用这些性质可解决对应的问题。同时不要忘了他们的几何意义，通过几何意义有时候画图就能很快的解决问题。

旋转体侧面积

题目条件是一个函数表达式，求侧面积

轴旋转形成的旋转体体积：

∫

∣

∫

∣

(

)

∣

′

(

)

绕直线

形成的旋转体侧面积为：

∫

∣

∫

∣

(

)

−

∣

′

(

)

绕x轴旋转形成的旋转体体积：S=\int_a^b2\pi|y|ds=\int_a^b2\pi|f(x)|\sqrt{1+f’^2(x)}dx\\ 绕直线y=y_0形成的旋转体侧面积为：S=\int_a^b2\pi|y|ds=\int_a^b2\pi|f(x_0)-y_0|\sqrt{1+f’^2(x)}dx\\

$绕 x 轴旋转形成的旋转体体积： S = \int_{a}^{b} 2 π ∣ y ∣ d s = \int_{a}^{b} 2 π ∣ f (x) ∣ 1 + f^{'2} (x) d x 绕直线 y = y_{0} 形成的旋转体侧面积为： S = \int_{a}^{b} 2 π ∣ y ∣ d s = \int_{a}^{b} 2 π ∣ f (x_{0}) - y_{0} ∣ 1 + f^{'2} (x) d x$

题目条件是一个参数方程，求侧面积

轴旋转形成的旋转体体积：

∫

∣

∫

∣

(

)

∣

′

(

)

′

(

)

绕直线

形成的旋转体侧面积为：

∫

∣

∫

∣

(

)

−

∣

′

(

)

′

(

)

绕x轴旋转形成的旋转体体积：S=\int_a^b2\pi|y|ds=\int_a^b2\pi|y(t)|\sqrt{x’^2(t)+y’^2(t)}dt\\ 绕直线y=y_0形成的旋转体侧面积为：S=\int_a^b2\pi|y|ds=\int_a^b2\pi|y(t)-y_0|\sqrt{x’^2(t)+y’^2(t)}dt\\

$绕 x 轴旋转形成的旋转体体积： S = \int_{a}^{b} 2 π ∣ y ∣ d s = \int_{a}^{b} 2 π ∣ y (t) ∣ x^{'2} (t) + y^{'2} (t) d t 绕直线 y = y_{0} 形成的旋转体侧面积为： S = \int_{a}^{b} 2 π ∣ y ∣ d s = \int_{a}^{b} 2 π ∣ y (t) - y_{0} ∣ x^{'2} (t) + y^{'2} (t) d t$

题目条件是一个极坐标方程，求侧面积

∫

∣

∫

∣

(

)

绕极轴旋转形成的旋转体体积：S=\int_\alpha^\beta2\pi|y|ds=\int_\alpha^\beta2\pi|rsin\theta|\sqrt{(\frac{dr}{d\theta})^2+r^2}d\theta\\

$绕极轴旋转形成的旋转体体积： S = \int_{α}^{β} 2 π ∣ y ∣ d s = \int_{α}^{β} 2 π ∣ rs in θ ∣ (\frac{d r}{d θ})^{2} + r^{2} d θ$

定积分的物理应用

‾

∫

‾

∫

‾

∫

质心公式：

‾

∫

‾

∫

‾

∫

弧长公式：

∫

′

水压力：

万有引力：

和

分别是两个物体的质量，

它们之间的距离，

是万有引力常数

库仑定律：

是两个电荷的带电量，

是它们之间的距离

做功：

形心公式：\overline x=\frac {\int xd\sigma}{\int d\sigma},\overline y=\frac {\int yd\sigma}{\int d\sigma},\overline z=\frac {\int zd\sigma}{\int d\sigma}\\ 质心公式：\overline x=\frac {\int x\rho d\sigma}{\int \rho d\sigma},\overline y=\frac {\int y\rho d\sigma}{\int \rho d\sigma},\overline z=\frac {\int z\rho d\sigma}{\int \rho d\sigma}\\ 弧长公式：s=\int_a^b\sqrt {1+y’^2}dx\\ 水压力：dF=PdS,P=\rho gh\\ 万有引力：\frac{CMm}{r^2},M和m分别是两个物体的质量，r它们之间的距离，C是万有引力常数\\ 库仑定律：\frac{kq_1q_2}{r^2},q_1q_2是两个电荷的带电量，r是它们之间的距离\\ 做功：dW=xdF,dW=Fdx

$形心公式： \overline{x} = \frac{\int x d σ}{\int d σ}, \overline{y} = \frac{\int y d σ}{\int d σ}, \overline{z} = \frac{\int z d σ}{\int d σ} 质心公式： \overline{x} = \frac{\int x ρ d σ}{\int ρ d σ}, \overline{y} = \frac{\int y ρ d σ}{\int ρ d σ}, \overline{z} = \frac{\int z ρ d σ}{\int ρ d σ} 弧长公式： s = \int_{a}^{b} 1 + y^{'2} d x 水压力： d F = P d S, P = ρ g h 万有引力： \frac{CM m}{r ^{2}}, M 和 m 分别是两个物体的质量， r 它们之间的距离， C 是万有引力常数库仑定律： \frac{k q _{1} q _{2}}{r ^{2}}, q_{1} q_{2} 是两个电荷的带电量， r 是它们之间的距离做功： d W = x d F, d W = F d x$

多元函数微分学

二元函数的极限

使用一元函数的计算方法计算极限

利用放缩求极限（常用）

≤

∣

≤

∣

≤

∣

≤

∣

≤

\frac{x^2}{x^2+y^2}\le1,\frac{y^2}{x^2+y^2}\le1\\ \frac{|x|}{|x|+|y|}\le1,\frac{|y|}{|x|+|y|}\le1\\ \frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le1,\frac{|x|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le1

$\frac{x ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} \leq 1, \frac{y ^{2}}{x ^{2} + y ^{2}} \leq 1 \frac{∣ x ∣}{∣ x ∣ + ∣ y ∣} \leq 1, \frac{∣ y ∣}{∣ x ∣ + ∣ y ∣} \leq 1 \frac{∣ x ∣}{x ^{2} + y ^{2}} \leq 1, \frac{∣ x ∣}{x ^{2} + y ^{2}} \leq 1$

lim

⁡

(

)

−

(

)

不可直接等价为

，需要分情况讨论

注意易错题：\lim_{(x,y)->(0,0)}\frac{sinxy}{\sqrt{x^2+y^2}},sinxy不可直接等价为xy，需要分情况讨论

$注意易错题： (x, y) - > (0, 0) lim \frac{s in x y}{x ^{2} + y ^{2}}, s in x y 不可直接等价为 x y ，需要分情况讨论$

分子分母都是无穷小，（等价后）分母的最低次数高于分子的最低次数则极限必定不存在

分子分母都是无穷小，（等价后）分母的最低次数等于分子的最低次数则极限必定不存在，设y=k(x-x0)+y0检验

分子分母都是无穷小，（等价后）分母的最低次数低于分子的最低次数，若极限存在，必为0

二元函数偏导数

一点处的偏导数，使用定义

lim

⁡

−

(

)

−

(

)

存在，则称

(

)

在点

(

)

关于

的偏导数存在

记为

(

)

或

′

(

)

∣

(

)

如果极限\lim_{\Delta x->0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_o)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}存在，则称f(x,y)在点(x_0,y_0)关于x的偏导数存在\\ 记为f_x(x_0,y_0),或f’_x(x_0,y_0),\frac{\alpha f}{\alpha x}|_{(x_0,y_0)}

$如果极限 Δ x - > 0 lim \frac{f ( x _{0} + Δ x , y _{o} ) - f ( x _{0} , y _{0} )}{Δ x} 存在，则称 f (x, y) 在点 (x_{0}, y_{0}) 关于 x 的偏导数存在记为 f_{x} (x_{0}, y_{0}), 或 f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), \frac{α f}{αx} ∣_{(x_{0}, y_{0})}$

利用偏导数的条件求原函数表达式，看作一元函数的不定积分

复合型的多元函数偏导数，采用链式法则

变量替换后的偏导数计算，变换方程是核心

隐函数求偏导，左右两边直接求

二元函数可微性与全微分

利用凑定义式进行可微性的判别

具体函数的可微性判别，先求偏导数再构造定义

全微分方程，先积分再求导

多元函数的极值

无条件极值

可求一阶二阶偏导的函数极值判别

先算出f_x,f_y,令f_x,f_y=0求出驻点(x_0,y_0)。\
再算出f_{xx}和f_{yy}以及f_{xy}\
代入驻点(x_0,y_0),判断\ f
^{2_{xx}(x_0,y_0)f}
2_{yy}(x_0,y_0)-f^2_{xy}(x_0,y_0)的正负。\

若f
^{2_{xx}(x_0,y_0)f}
2_{yy}(x_0,y_0)-f^2_{xy}(x_0,y_0)<0,不取极值\

若f
^{2_{xx}(x_0,y_0)f}
2_{yy}(x_0,y_0)-f^2_{xy}(x_0,y_0)>0,取极值,f_{xx}(x_0,y_0)>0取极小值，反之取极大值\

若f
^{2_{xx}(x_0,y_0)f}
2_{yy}(x_0,y_0)-f^2_{xy}(x_0,y_0)=0,不确定，需要另行判断。

$$

可转化为一元函数的极值问题

思想就是整体换元（当条件方程中有几个复杂的部分包含相同的元素时，将他们整体换元，变成一元函数）

抽象函数的极值判别

条件极值

利用条件消去参数

正常做法，根据对称性把拉格朗日乘子两式相减，可以得到一个等式，根据这个等式可以解得答案。（这个等式一般是两个的乘积=0，然后分别判断等于0的情况是否成立，通常复杂的那一项不成立，有时间就判定一下，没时间就直接写解得）

直接消去方程中的参数

同上一个消参不同的是，这个是把两个等式拉格朗日乘子一部分移到等式右边，然后两式相除，可以消掉一个参数（注意找消了之后式子简洁的消）

利用齐次性化简方程

通常就是xLy+yLx=0（等式分别乘以x和y再相加，可以根据原式化成一个非常简洁的式子）

利用基本不等式求最值

一般利用均值不等式，柯西不等式

利用二次型的变换解决条件极值

利用约束条件化多元函数为一元函数

当在内部不取极值而在边界取到的话，通常把y变成x的表达式，然后带入约束条件，就变成了一个一元函数求极值的问题。

二重积分

利用二重积分定义计算极限

提出一个1/n²，把内部的i/n替换成x，j/n替换成y。然后极限符号变成二重积分符号，拆成两个积分相乘的时候，积分上下限都是0-1.

利用对称性化简二重积分的计算

奇偶对称性

当被积函数看起来很复杂的时候，可以想想是不是拆分之后有一项甚至多项都是奇函数从而把它去掉

轮换对称性

利用“二重积分的结果是一个数字”来求解某一待定函数的问题

二重积分的计算

选择恰当的坐标系计算二重积分

选择恰当的积分次序/更改积分次序

需要平移极坐标的极点

适用于极坐标计算的积分汇总

需要分割积分区域的题目

区域边界为参数方程的二重积分计算

反常二重积分的计算

利用二重积分计算定积分

微分方程基本理论与常规题

基本概念

微分方程

微分方程的阶

微分方程的解

通解与特解

一阶微分方程

可分离变量的微分方程

齐次微分方程

一阶线性齐次微分方程

′

(

)

通解：

−

∫

(

)

一阶线性齐次微分方程：y’+P(x)y=0\\ 通解：y=Ce^{-\int P(x)dx}

$一阶线性齐次微分方程： y^{'} + P (x) y = 0 通解： y = C e^{- \int P (x) d x}$

一阶线性非齐次微分方程

′

(

)

(

)

通解：

−

∫

(

)

[

∫

(

)

∫

(

)

]

一阶线性非齐次微分方程：y’+P(x)y=Q(x)\\ 通解：y=e^{-\int P(x)dx}[\int Q(x)e^{\int P(x)}dx+C]

$一阶线性非齐次微分方程： y^{'} + P (x) y = Q (x) 通解： y = e^{- \int P (x) d x} [\int Q (x) e^{\int P (x)} d x + C]$

伯努利方程

可降阶的高阶微分方程

第一类（常数型）

第二类（不含y型）

第三类（不含x型）66二阶常系数齐次线性微分方程

′

我们将

称作

′

的特征方程

而

的根称为特征根

(

)

若特征方程有两个相异的实根

≠

则通解为

;

(

)

若特征方程有两个相等的实根

则通解为

(

)

;

(

)

若特征方程有一对共轭的虚根

则通解为

(

)

;

形如：y”+py’+qy=0\\ 我们将\lambda^2+p\lambda+q=0称作y”+py’+qy=0的特征方程,而\lambda^2+p\lambda+q=0的根称为特征根\\ (1)若特征方程有两个相异的实根\lambda_1\ne\lambda_2,则通解为y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x};\\ (2)若特征方程有两个相等的实根\lambda_1=\lambda_2,则通解为y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x};\\ (3)若特征方程有一对共轭的虚根\lambda_{1,2}=\alpha+i\beta,则通解为y=e^{\alpha x}(C_1sin\beta x+C_2cos\beta x);\\

$形如： y^{''} + p y^{'} + q y = 0 我们将 λ^{2} + p λ + q = 0 称作 y^{''} + p y^{'} + q y = 0 的特征方程, 而 λ^{2} + p λ + q = 0 的根称为特征根 (1) 若特征方程有两个相异的实根 λ_{1} \neq = λ_{2}, 则通解为 y = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x}; (2) 若特征方程有两个相等的实根 λ_{1} = λ_{2}, 则通解为 y = (C_{1} + C_{2} x) e^{λ_{1} x}; (3) 若特征方程有一对共轭的虚根 λ_{1, 2} = α + i β, 则通解为 y = e^{αx} (C_{1} s in β x + C_{2} cos β x);$

二阶常系数非齐次线性微分方程

′

(

)

我们要记住：非奇通

齐通

非奇特，齐通在上一点中介绍过了。现在介绍非奇特

;

(

)

若

(

)

(

)

(

代表关于

的

次多项式

)

当

不是特征根时，

∗

(

…

)

;

当

是单特征根时，

∗

(

…

)

;

当

是二重特征根时，

∗

(

…

)

;

(

)

若

(

)

[

(

)

(

)

]

(

)

(

)

代表关于

的

次和

次多项式

)

若

不是特征根，则令

∗

[

(

)

(

)

]

;

若

是特征根，则令

∗

[

(

)

(

)

]

形如：y”+py’+qy=f(x)\\ 我们要记住：非奇通=齐通+非奇特，齐通在上一点中介绍过了。现在介绍非奇特;\\ (1)若f(x)=P_n(x)e^{kx}(P_n代表关于x的n次多项式)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 当k不是特征根时，y*=(a_0+a_1+…+a_nx^n)e^{kx};\\ 当k是单特征根时，y*=x(a_0+a_1+…+a_nx^n)e^{kx};\\ 当k是二重特征根时，y*=x^2 (a_0+a_1+…+a_nx^n)e^{kx};\\ (2)若f(x)=e^{ax}[P_l(x)cos\beta x+P_s(x)sin\beta x]\ \ \ \ \ \ \ \ \ (P_l(x),P_s(x)代表关于x的l次和s次多项式)\\ 若\alpha+i\beta不是特征根，则令y*=e^{ax}[H_n(x)cos\beta x+Q_n(x)sin\beta x];\\ 若\alpha+i\beta是特征根，则令y*=xe^{ax}[H_n(x)cos\beta x+Q_n(x)sin\beta x]

$形如： y^{''} + p y^{'} + q y = f (x) 我们要记住：非奇通 = 齐通 + 非奇特，齐通在上一点中介绍过了。现在介绍非奇特; (1) 若 f (x) = P_{n} (x) e^{k x} (P_{n} 代表关于 x 的 n 次多项式) 当 k 不是特征根时， y * = (a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n} x^{n}) e^{k x}; 当 k 是单特征根时， y * = x (a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n} x^{n}) e^{k x}; 当 k 是二重特征根时， y * = x^{2} (a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n} x^{n}) e^{k x}; (2) 若 f (x) = e^{a x} [P_{l} (x) cos β x + P_{s} (x) s in β x] (P_{l} (x), P_{s} (x) 代表关于 x 的 l 次和 s 次多项式) 若 α + i β 不是特征根，则令 y * = e^{a x} [H_{n} (x) cos β x + Q_{n} (x) s in β x]; 若 α + i β 是特征根，则令 y * = x e^{a x} [H_{n} (x) cos β x + Q_{n} (x) s in β x]$

n阶常系数齐次线性微分方程

阶常系数齐次线性微分方程的解法——假设微分方程为

′

对应的特则方程为

特征根为

则特征根与通解之间的关系如下：

(

)

若

均是实根，且互不相等，则通解为

;

(

)

若

均是实根，且

≠

，则通解为

(

)

;

(

)

若

均是实根，且

，则通解为

(

)

;

(

)

若

中有一个实根

，两个共轭虚根

，

则通解为

(

)

;

我们以三阶为例，展示n阶常系数齐次线性微分方程的解法——假设微分方程为f”’+ay”+by’+cy=0,\\ 对应的特则方程为\lambda^3+a\lambda^2+b\lambda+c=0,特征根为\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,则特征根与通解之间的关系如下：\\(1)若\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3均是实根，且互不相等，则通解为y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+C_3e^{\lambda_3x};\\ (2)若\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3均是实根，且\lambda_1=\lambda_2\ne\lambda_3，则通解为y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}+C_3e^{\lambda_3x};\\ (3)若\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3均是实根，且\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3，则通解为y=(C_1+C_2x+C_3x^2)e^{\lambda_1x};\\ (4)若\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3中有一个实根\lambda_1，两个共轭虚根\lambda_{2，3}=\alpha\plusmn i\beta,则通解为y=C_1e^{\lambda_1x}+e^{\alpha x}(C_2cos\beta x+C_3sin\beta x);

$我们以三阶为例，展示 n 阶常系数齐次线性微分方程的解法 —— 假设微分方程为 f^{'''} + a y^{''} + b y^{'} + cy = 0, 对应的特则方程为 λ^{3} + a λ^{2} + bλ + c = 0, 特征根为 λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, 则特征根与通解之间的关系如下： (1) 若 λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} 均是实根，且互不相等，则通解为 y = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x} + C_{3} e^{λ_{3} x}; (2) 若 λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} 均是实根，且 λ_{1} = λ_{2} \neq = λ_{3} ，则通解为 y = (C_{1} + C_{2} x) e^{λ_{1} x} + C_{3} e^{λ_{3} x}; (3) 若 λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} 均是实根，且 λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} ，则通解为 y = (C_{1} + C_{2} x + C_{3} x^{2}) e^{λ_{1} x}; (4) 若 λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} 中有一个实根 λ_{1} ，两个共轭虚根 λ_{2 ， 3} = α \pm i β, 则通解为 y = C_{1} e^{λ_{1} x} + e^{αx} (C_{2} cos β x + C_{3} s in β x);$

微分方程解的结构与性质

特征值与特征向量

求特征值与特征向量

具体矩阵的特征值与特征向量

抽象矩阵的特征值与特征向量

判断矩阵能否相似对角化

具体矩阵的判断

抽象矩阵的判断

两个普通矩阵相似的判定

利用相似对角化求高次幂

利用相似对角化转化研究对象

实对称矩阵的相似对角化

具体矩阵

抽象矩阵

二次型

利用正交变换转化二次型为标准型

利用配方法将二次型化为标准型

正定二次型和正定矩阵

矩阵的合同

等价：有相同的秩

相似：特征值相同，行列式相同，迹相同，特征多项式相同。

合同：有相同的正负惯性指数（实对称矩阵）

原文链接：https://blog.csdn.net/Greenphantom/article/details/127336612