N的阶乘N!中的末尾有多少个0?

  • Post author:
  • Post category:其他




N的阶乘N!中的末尾有多少个0?




问题:


N的阶乘N!中的末尾有多少个0?  例如:N = 5,N! = 120.末尾有1个0.



分析:


想到这个问题,有人可能第一反应就是先求出N!,然后再根据求出的结果,最后得出N!的末尾有多少个0。但是转念一想,会不会溢出,等等。

其实,从”哪些数相乘可以得到10″这个角度,问题就变得比较的简单了。


(1)首先考虑,如果N的阶乘为K和10的M次方的乘积,那么N!末尾就有M的0。

(2)如果将N的阶乘分解后,那么N的阶乘可以分解为:2的X次方,3的Y次方,4的0次方(2的X次方已计算),5的Z次方…..的乘积。

由于10 = 2 * 5,所以M只能和X和Z有关,每一对2和5相乘就可以得到一个10。

于是M = MIN(X, Z),不难看出X大于Z,因为被2整除的频率比被5整除的频率高的多。所以可以把公式简化为M = Z。

由上面的分析可以看出,只要计算出Z的值,就可以得到N!末尾0的个数



方法一:

要计算Z,最直接的方法就是求出N的阶乘的所有因式(1,2,3,…,N)分解中5的指数,然后求和。

int zero(int n)
{
    int num = 0;
    
    for (int i = 5; i <= n; i += 5)
    {
        int j = i;
        while (j % 5 == 0)
        {
            num++;
            j /= 5;
        }
    }
    
    return num;
}








方法二:


Z = N / 5 + N / (5 * 5) + N / (5 * 5 * 5)…..直到N / (5的K次方)等于0

公式中N / 5表示不大于N的数中能被5整除的数贡献一个5,N / (5 * 5)表示不大于N的数中能被25整除的数贡献一个5…….

int zero(int n)
{
    int num = 0;
    
    while(n)
    {
        num += n / 5;
        n /= 5;
    }
    
    return num;
}


练习题:

hdu1124 Factorial



原文链接:

http://blog.chinaunix.net/uid-20766194-id-1850404.html