滤波器基础系列博客
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滤波器基础03——Sallen-Key滤波器、多反馈滤波器与Bainter陷波器
前言
前言
通常，滤波器模块或芯片通常会这样来描述自己，如5阶巴特沃斯低通滤波器，2阶切比雪夫滤波器，4阶贝塞尔滤波器，这些初看很奇怪的称呼其实是表达出了这些滤波器的一些关键特性。
巴特沃斯、切比雪夫等可统称为函数型滤波器。本博文将介绍这些函数型滤波器的定义与滤波器特性的区分。
一. 滤波器的零点与极点
一. 滤波器的零点与极点
滤波器传递函数如下：
H
(
s
)
=
A
m
×
1
+
m
1
s
+
m
2
s
2
+
.
.
.
+
m
m
s
m
1
+
n
1
s
+
n
2
s
2
+
.
.
.
+
n
n
s
n
H\left( s \right) =A_m\times \frac{1+m_1s+m_2s^2+…+m_ms^m}{1+n_1s+n_2s^2+…+n_ns^n}
H
(
s
)
=
A
m
×
1
+
n
1
s
+
n
2
s
2
+
…
+
n
n
s
n
1
+
m
1
s
+
m
2
s
2
+
…
+
m
m
s
m
此传递函数可改写与零极点的形式：
H
(
s
)
=
K
∗
(
s
−
z
1
)
(
s
−
z
2
)
⋯
(
s
−
z
m
)
(
s
−
p
1
)
(
s
−
p
2
)
⋯
(
s
−
p
n
)
H\left( s \right) =K^*\frac{\left( s-z_1 \right) \left( s-z_2 \right) \cdots \left( s-z_m \right)}{\left( s-p_1 \right) \left( s-p_2 \right) \cdots \left( s-p_n \right)}
H
(
s
)
=
K
∗
(
s
−
p
1
)
(
s
−
p
2
)
⋯
(
s
−
p
n
)
(
s
−
z
1
)
(
s
−
z
2
)
⋯
(
s
−
z
m
)
其中，
z
j
(
j
=
1
,
2
,
⋯
,
m
)
z_j\left( j=1,2,\cdots ,m \right)
z
j
(
j
=
1
,
2
,
⋯
,
m
)
为传递函数分子多项式等于零的根，称为传递函数的零点；
p
i
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
p_i\left( i=1,2,\cdots ,n \right)
p
i
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
)
为传递函数分母多项式等于零的根，称为传递函数的极点；
K
∗
K^*
K
∗
称为传递系数。
传递函数有零点的滤波器称为零点滤波器，同样的，传递函数仅有极点的滤波器称为全极点滤波器。
像双极点滤波器，意思就是说此滤波器没有零点仅有两个极点，双极点也就等同于分母的阶数为二，所以双极点滤波器也就是一个无零点的二阶滤波器。
二. 全极点滤波器
二. 全极点滤波器
一般来说，要构造出零点，滤波器电路就会比较复杂，所以，我们常用的都是全极点滤波器。
像巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器、贝塞尔滤波器均属于全极点滤波器。
而反切比雪夫滤波器、椭圆滤波器则属于零点滤波器。
2.1 全极点低通滤波器
以二阶低通滤波器为例，传递函数为：
H
(
j
ω
)
=
A
m
×
1
1
+
1
Q
ω
0
j
ω
+
1
ω
0
2
(
j
ω
)
2
=
A
m
×
1
1
+
1
Q
j
ω
ω
0
+
(
j
ω
ω
0
)
2
H\left( j\omega \right) =A_m\times \frac{1}{1+\frac{1}{Q\omega _0}j\omega +\frac{1}{
{\omega _0}^2}\left( j\omega \right) ^2}=A_m\times \frac{1}{1+\frac{1}{Q}j\frac{\omega}{\omega _0}+\left( j\frac{\omega}{\omega _0} \right) ^2}
H
(
jω
)
=
A
m
×
1
+
Q
ω
0
1
jω
+
ω
0
2
1
(
jω
)
2
1
=
A
m
×
1
+
Q
1
j
ω
0
ω
+
(
j
ω
0
ω
)
2
1
令
x
=
ω
/
ω
0
x={
{\omega}\Big/{\omega _0}}
x
=
ω
/
ω
0
，那么上式可以改写为：
H
(
j
ω
)
=
A
m
×
1
1
+
1
Q
j
x
+
(
j
x
)
2
H\left( j\omega \right) =A_m\times \frac{1}{1+\frac{1}{Q}jx+\left( jx \right) ^2}
H
(
jω
)
=
A
m
×
1
+
Q
1
j
x
+
(
j
x
)
2
1
这就是归一化低通滤波器的表达式。
根据Q值不同，低通滤波器可分为三种：
Q
<
1
2
,
贝塞尔型
Q
=
1
2
,
巴特沃斯型
Q
>
1
2
,
切比雪夫型
Q<\frac{1}{\sqrt{2}}, \text{贝塞尔型} \\ Q=\frac{1}{\sqrt{2}}, \text{巴特沃斯型} \\ Q>\frac{1}{\sqrt{2}}, \text{切比雪夫型}
Q
<
2
1
,
贝塞尔型
Q
=
2
1
,
巴特沃斯型
Q
>
2
1
,
切比雪夫型
巴特沃斯滤波器
最明显的特征是它的特征频率等于截止频率。它的通带平坦，没有起伏，过渡带下降速度一般。因为Q是个定值，所以巴特沃斯滤波器的电阻电容间的比例是唯一的。由于特性比较优秀，参数唯一，设计方便，巴特沃斯滤波器应用非常广泛。
贝塞尔滤波器
在特征频率处的幅值小于0.707，低通滤波器信号的幅值是随着频率增大越来越小的，所以贝塞尔滤波器的截止频率小于特征频率。贝塞尔滤波器的过渡带比巴特沃斯还要缓慢，看起来它没什么优点，在幅频特性上确实是这样，但贝塞尔滤波器的相频特性优秀，它的通带群延时是最低的，这意味着贝塞尔滤波器可以有效减小通带信号失真，这是它最大的优点。
切比雪夫滤波器
在特征频率处的幅值大于0.707，它可以是1甚至更大，它拥有最陡峭的过渡带。在通带内，切比雪夫滤波器具有隆起，且Q越大，隆起越大。
在Simulink中写出不同Q值的归一化传递函数，对于不同的函数型滤波器，它们的归一化传递函数如下图所示。
分别对应Q=0.5（贝塞尔），Q=0.707（巴特沃斯），Q=2（切比雪夫），Q=10（切比雪夫）。
Bode图：
可见，随着Q值的增大，幅频特性越来越陡峭。
LTspice仿真二阶SK型低通滤波器如下图所示。通过改变电容C2的值来改变Q值，即可实现巴特沃斯、切比雪夫与贝塞尔这三种滤波器。
所以说，
这三种函数型滤波器并不是电路结构不同，而是电路元件参数不同
。
2.2 全极点高通滤波器
类比于极点低通滤波器，极点高通滤波器同样可根据Q值划分为：贝塞尔型，巴特沃斯型，切比雪夫型。在simulink中写出它们的高通归一化传递函数，如下图所示。
Bode图：
可见，这三种高通函数型滤波器的特征和低通是完全一样的，Q值影响的是幅频特性隆起的大小，Q越大隆起越大。
2.3 全极点带通滤波器
在Simulink中写出三种归一化极点带通滤波器的传递函数如下：
Bode图：
2.4 全极点带阻滤波器
在Simulink中写出三种归一化极点带阻滤波器的传递函数如下：
Bode图：
2.5 全极点全通滤波器
在Simulink中写出三种归一化极点全通滤波器的传递函数如下：
Bode图：
三. 零点滤波器
三. 零点滤波器
零点滤波器包括逆切比雪夫滤波器，椭圆滤波器等，电路复杂，应用较少，此处忽略。
四. 参考
四. 参考
滤波101： 切比雪夫滤波器与巴特沃兹滤波器与贝塞尔滤波器_哔哩哔哩_bilibili
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