文章目录
图论的基本概念
阶:节点集v中元素的个数
- n阶图 ; n个节点
- 空图:顶点集为空
- 零图:没有一条边的图
- 平凡图:即一阶零图
- 有限图:节点集合和边集合都是有限的
度
-
无向图
- v节点作为边节点的次数成为度(环的节点的度为2)
-
有向图
- 出度:v节点作为边起点的次数
- 入度:v节点作为边终点的次数
- 总度数:出度+入度
-
孤立点:度数为0的点
-
悬挂点:度数为1的点
-
偶点:度数为偶数
-
奇点:度数为奇数
定理
- 总度数是边的两倍
-
任何图中,度数为奇数的个数为偶数
- 有向图中,出度之和等于入度之和等于边数
相邻
- 无向图:边的两个端点相邻,两条边至少有一个共同的端点,这两条边相邻
- 有向图:边的起点与终点相邻,若两条边的起点与终点重合,这两条边相邻
度数列
- 度数列:所有节点的度数的列表
- 入度列
- 出度列
定理
- 度数列之和等于偶数(2倍边)
- 入度列等于出度列之和
-
可图化:怎么样的非负整数列可以作为度数列呢
- 奇数的个数为偶数(度定理2)
- 所有整数之和等于偶数(握手定理)
- 可简单图化:略
简单图和多重图
- 无向图
- 平行边:边关联同意对顶点
- 重数: 平行边的边数
- 有向图
- 有向平行边:边的起点和终点相同
- 重数:同上
- 简单图:没有多重边(平行边)也没有环
- 多重图:有平行边
无向完全图和有向完全图
- 无向完全图
- n阶无向简单图,若对于每个顶点都有n-1个顶点与其相邻,则称为n阶无向完全图,Kn
- 示例:
-
边数:(n*(n-1))/2
- 有向完全图
- n阶有向简单图,对于任意两点,都互作起点和终点,称为n阶有向完全图
-
示例:
-
边数:n*(n-1)
子图和真子图
-
子图:
每个图都是自身的子图
-
生成子图:
子集顶点集为母图的顶点集,称为子集为生成子集
- G的v1导出子图G[v1]
-
点集为原图G的点集v的子集v1,且不为空
-
边集为G中两个端点都在v1中所组成的边
-
特殊的,G[v]=G
G的E1导出子图G[E1]
-
边集为原图G的边集E的子集E1,且不为空
-
点集为与E1中边关联的点
-
特殊的,若G无孤立点,则G[E]=G
补图:
-
无向简单图
设
G=
V
,
E
G= V,E
G
=
V
,
E
,是一个n阶简单图,G的补图
G‾
=
V
‾
,
E
‾
\overline G= \overline V,\overline E
G
=
V
,
E
,其中有
E‾
=
{
(
u
,
v
)
∣
u
,
v
∈
V
a
n
d
(
u
,
v
)
∉
E
}
\overline E = \lbrace (u,v) | u,v \in V and (u,v)\notin E\rbrace
E
=
{
(
u
,
v
)
∣
u
,
v
∈
V
a
n
d
(
u
,
v
)
∈
/
E
}
-
有向简单图
类似 -
即图加上自身的补图应该变成一个完全图
同构
- 定义:即两个图,每个点都能找到对应的点,并且对应点关联形同的对应边,并且重数相等
- 必要条件:定点数相同,边数相同,度数序列相同(不计顺序),相邻的点相同
通路,回路和图的连通性
通路
- 定义:指从一个顶点到另一个顶点间的路
- 回路:当起点等于终点的时候,则称该路为回路
-
简单通路(回路)
通路(回路)中没有一样的边 -
初级通路(回路)
当除了v0,vn以外的所有的点都不同,所有的边都不同的通路,也称为路劲
初级回路也类似,初级回路也称为圈 -
复杂通路(回路)
有重复边出现的通路(回路)
定理
- n阶图中,两点之间若存在通路,一定存在长度小于等于n-1的通路(或者初级通路)
- n阶图中,若一个点存在于到自身的回路,则一定存在小于等于n的到自身的回路(或者初级回路)(把所有的点都走一遍的回路,刚好为n)
连通
- 若两点之间有通路,则称这两点连通
-
有向图
- 任意两点都是连通的,称为连通图,否则为非连通图
-
无向图
- 弱连通图:略去有向图的边的方向后的无向图如果是连通图,则称该有向图为弱连通图,简称连通图
- 单向连通图:有向图D中任意两定点至少一个可达另一个
- 强连通图:D中任何一对顶点都是互相可达的
连通分支
- 无向图中根据顶点间的连通关系将无向图分为若干个连通分支,连通分支与连通分支之间没有连通
- 连通分支个数记为p(G)
删除
- 设v1是G顶点集V的子集,从G中删除v1的所有点,及v1所关联的边,称为删除v1
- 设E1是G边集的E的子集,从G中删除E1中的所有边,称为删除E1
点割集和边割集(割集)
- 点割集
用矩阵来表示图
关联矩阵
- 无向图
- 元素aij表示i节点与j边的关联次数
- 0是不关联,1是关联一次,2是环
- 每个列相加等于2 每个边关联两个点
- 所有元素之和等于2倍边长
- 第i行表示i节点的度数
- 有向图(不允许有环)
- 0表示不关联,1表示起点,-1表示终点
- 相加等于0,每个边有一个起点一个终点
- 每行1的数之和是出度,-1之和是入度的相反数
邻接矩阵
-
无向图
- n阶无向图的邻接矩阵是n*n
- 根据点与点之间的临界情况,1表示有邻接,0表示没有邻接
- 环则该点与自己邻接
- 无向图的邻接矩阵是对称的
- 元素之和等于2倍边长(握手定律)
-
有向图
- 不对称
- 第i行是从i节点出发的边,第i列是到达i节点的边
- 元素之和等于边数
邻接矩阵的性质(重点)
-
推论
- 设B= E+A^1 + A^2 …A^r,则B中的元素表示长度小于等于r的通路之和
可达矩阵或连通矩阵
- 可达矩阵(有向图)
-
连通矩阵(无向图)
与可达矩阵相似