图论_图的基础知识

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图论的基本概念



阶:节点集v中元素的个数

  • n阶图 ; n个节点
  • 空图:顶点集为空
  • 零图:没有一条边的图
  • 平凡图:即一阶零图
  • 有限图:节点集合和边集合都是有限的




  • 无向图

    • v节点作为边节点的次数成为度(环的节点的度为2)
  • 有向图

    • 出度:v节点作为边起点的次数
    • 入度:v节点作为边终点的次数
    • 总度数:出度+入度
  • 孤立点:度数为0的点

  • 悬挂点:度数为1的点

  • 偶点:度数为偶数

  • 奇点:度数为奇数



定理

  1. 总度数是边的两倍

  2. 任何图中,度数为奇数的个数为偶数
  3. 有向图中,出度之和等于入度之和等于边数



相邻

  • 无向图:边的两个端点相邻,两条边至少有一个共同的端点,这两条边相邻
  • 有向图:边的起点与终点相邻,若两条边的起点与终点重合,这两条边相邻



度数列

  • 度数列:所有节点的度数的列表
  • 入度列
  • 出度列



定理

  1. 度数列之和等于偶数(2倍边)
  2. 入度列等于出度列之和
  3. 可图化:怎么样的非负整数列可以作为度数列呢

    1. 奇数的个数为偶数(度定理2)
    2. 所有整数之和等于偶数(握手定理)
  4. 可简单图化:略



简单图和多重图

  1. 无向图
  • 平行边:边关联同意对顶点
  • 重数: 平行边的边数
  1. 有向图
  • 有向平行边:边的起点和终点相同
  • 重数:同上
  1. 简单图:没有多重边(平行边)也没有环
  2. 多重图:有平行边



无向完全图和有向完全图

  1. 无向完全图
  • n阶无向简单图,若对于每个顶点都有n-1个顶点与其相邻,则称为n阶无向完全图,Kn
  • 示例:
  • 在这里插入图片描述

  • 边数:(n*(n-1))/2
  1. 有向完全图
  • n阶有向简单图,对于任意两点,都互作起点和终点,称为n阶有向完全图
  • 示例:
    在这里插入图片描述

  • 边数:n*(n-1)




子图和真子图

  1. 子图:

    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-3wU236xn-1586336143235)(http://127.0.0.1:8090/upload/2020/3/image-60ee8b5f7ac646b48f860ce698ac61d2.png)]


    每个图都是自身的子图
  1. 生成子图:

    子集顶点集为母图的顶点集,称为子集为生成子集

  1. G的v1导出子图G[v1]
  • 点集为原图G的点集v的子集v1,且不为空

  • 边集为G中两个端点都在v1中所组成的边


  • 特殊的,G[v]=G

    G的E1导出子图G[E1]

  • 边集为原图G的边集E的子集E1,且不为空

  • 点集为与E1中边关联的点


  • 特殊的,若G无孤立点,则G[E]=G



补图:

  1. 无向简单图





    G

    =

    V

    ,

    E

    G= V,E






    G




    =








    V


    ,




    E





    ,是一个n阶简单图,G的补图



    G

    =

    V

    ,

    E

    \overline G= \overline V,\overline E













    G















    =















    V













    ,











    E
















    ,其中有





    E

    =

    {

    (

    u

    ,

    v

    )

    u

    ,

    v

    V

    a

    n

    d

    (

    u

    ,

    v

    )

    E

    }

    \overline E = \lbrace (u,v) | u,v \in V and (u,v)\notin E\rbrace













    E















    =








    {



    (


    u


    ,




    v


    )





    u


    ,




    v













    V


    a


    n


    d


    (


    u


    ,




    v


    )






















    /






























    E


    }





  2. 有向简单图

    类似

  3. 即图加上自身的补图应该变成一个完全图



同构

  • 定义:即两个图,每个点都能找到对应的点,并且对应点关联形同的对应边,并且重数相等
  • 必要条件:定点数相同,边数相同,度数序列相同(不计顺序),相邻的点相同



通路,回路和图的连通性



通路

  • 定义:指从一个顶点到另一个顶点间的路
  • 回路:当起点等于终点的时候,则称该路为回路
  1. 简单通路(回路)

    通路(回路)中没有一样的边
  2. 初级通路(回路)

    当除了v0,vn以外的所有的点都不同,所有的边都不同的通路,也称为路劲

    初级回路也类似,初级回路也称为圈
  3. 复杂通路(回路)

    有重复边出现的通路(回路)



定理

  • n阶图中,两点之间若存在通路,一定存在长度小于等于n-1的通路(或者初级通路)
  • n阶图中,若一个点存在于到自身的回路,则一定存在小于等于n的到自身的回路(或者初级回路)(把所有的点都走一遍的回路,刚好为n)



连通

  • 若两点之间有通路,则称这两点连通
  • 有向图

    • 任意两点都是连通的,称为连通图,否则为非连通图
  • 无向图

    • 弱连通图:略去有向图的边的方向后的无向图如果是连通图,则称该有向图为弱连通图,简称连通图
    • 单向连通图:有向图D中任意两定点至少一个可达另一个
    • 强连通图:D中任何一对顶点都是互相可达的



连通分支

  • 无向图中根据顶点间的连通关系将无向图分为若干个连通分支,连通分支与连通分支之间没有连通
  • 连通分支个数记为p(G)



删除

  • 设v1是G顶点集V的子集,从G中删除v1的所有点,及v1所关联的边,称为删除v1
  • 设E1是G边集的E的子集,从G中删除E1中的所有边,称为删除E1



点割集和边割集(割集)

  • 点割集



用矩阵来表示图



关联矩阵

  1. 无向图
  • 元素aij表示i节点与j边的关联次数
  • 0是不关联,1是关联一次,2是环
  • 每个列相加等于2 每个边关联两个点
  • 所有元素之和等于2倍边长
  • 第i行表示i节点的度数
  1. 有向图(不允许有环)
  • 0表示不关联,1表示起点,-1表示终点
  • 相加等于0,每个边有一个起点一个终点
  • 每行1的数之和是出度,-1之和是入度的相反数



邻接矩阵

  • 无向图

    • n阶无向图的邻接矩阵是n*n
    • 根据点与点之间的临界情况,1表示有邻接,0表示没有邻接
    • 环则该点与自己邻接
    • 无向图的邻接矩阵是对称的
    • 元素之和等于2倍边长(握手定律)

  • 有向图

    • 不对称
    • 第i行是从i节点出发的边,第i列是到达i节点的边
    • 元素之和等于边数



邻接矩阵的性质(重点)

  • 在这里插入图片描述
  • 推论

    • 设B= E+A^1 + A^2 …A^r,则B中的元素表示长度小于等于r的通路之和



可达矩阵或连通矩阵

  1. 可达矩阵(有向图)
  • 可达为1,不可达为0

  • 对角线上都为1



  • 计算方式

    • 将B(n-1)转化为布尔矩阵,非0的用1表示,0保持不变,就可以得到可达矩阵(n为节点数)
  1. 连通矩阵(无向图)

    与可达矩阵相似



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