第5章
李雅普诺夫稳定性分析
本章讨论李雅普诺夫稳定性分析。主要介绍李雅普诺夫稳定性的定义以及分析系统状态稳定性的李雅普诺夫理论和方法;着重讨论李雅普诺夫第二法及其在线性系统和3类非线性系统的应用、李雅普诺夫函数的构造、李亚普诺夫代数(或微分)方程的求解等。最后介绍李亚普诺夫稳定性问题的Matlab 计算与程序设计。
一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统,即当系统受到外界干扰时它的平衡被破坏,但在外界干扰去掉以后,它仍有能力自动地恢复在平衡态下继续工作。系统的这种性能,叫做稳定性。例如,电压自动调解系统中保持电机电压为恒定的能力、电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。具有稳定性的系统称为稳定系统，不具有稳定性的系统称为不稳定系统。也可以说,系统的稳定性就是系统在受到外界干扰后,系统状态变量或输出变量的偏差量(被调量偏离平衡位置的数值)过渡过程的收敛性,用数学方法表示就是
ε≤Δ∞→)(Lim t x t 式中，)(t x Δ为系统被调量偏离其平衡位置的变
化量;ε为任意小的规定量。
如果系统在受到外扰后偏差量越来越大,显然它不可能是一个稳定系统。在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生了许多线性定常系统的稳定性判据,如劳斯-胡尔维茨(Routh-Hurwitz)判据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的稳定性判别及设计方法。但这些稳定性判据仅限于讨论SISO 线性定常系统输入输出间动态关系,讨论的是有界输入有界输出(BIBO)稳定性,未研究系统的内部状态变化的稳定性。再则，对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法,上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难以胜任一般系统。现代控制系统的结构比较复杂,大都存在非线性或时变因素,即使是系统结构本身, 往往也需要根据性能指标的要求而加以改变,才能适应新的情况,保证系统的正常或最佳运行状态。在解决这类复杂系统的稳定性问题时,最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的一些稳定性理论。 早在1892年,俄国学者李雅普诺夫就发表了题为“运动稳定性一般问题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。
李雅普诺夫把分析系统稳定性的方法归纳为两类，分别称为李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第一法(亦称间接法)是解描述系统动力学的微分方程式,然后根据解的性质来判断系统的稳定性的方法。对于线性定常系统,主要是根据系统极点的分布来判断系统的稳定性,即为经典控制理论的稳定性判