以往的数学教学，即便有的场合会强调概念的严格定义，也不能真正说服你为什么要引入这些概念。就拿上次的单调性来说
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，单调的函数看起来是简单的，但是这种简单的内涵是什么，是
可逆
，能够讲到这个深度的实在是太少了。而奇偶性的意义更是很少被拿出来说，顶多是谈到图像的对称性，这远远不够。
首先，奇偶性针对的是在对称的数集上定义的函数。对于一个数集
称它是对称的，是指对于任意
成立
以下的数集
都是对称的，函数都是
上的。
称函数
是奇函数，是指对于任意
成立
称函数
是偶函数，是指对于任意
成立
关于奇偶性，不难证明一些简单的性质：设
是奇函数，则
是奇函数，
是偶函数；设
是偶函数，则
是偶函数；设
是奇函数，
是偶函数，则
是奇函数，
是奇函数，
是偶函数。只有零（恒为零的函数）同时为奇函数和偶函数。
接下来介绍一个结论，它在一些教材上是习题，但是我觉得仅仅作为习题就有些浪费了，还是应该作为正文把内涵讲清楚。
数集
上的函数
总是可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，并且这种表示是唯一的。
证明不算很难，关键是要讲清楚这个结论为什么要被拿出来说。构造函数
则它们是奇函数和偶函数，并且它们的和是
另外取函数
使得它们是奇函数和偶函数，且它们的和是
则
并且
是奇函数，
是偶函数，所以
和
都是零，说明
是唯一的。
这个结论的意义在于，可以将任何一个函数的这种表示看做是它在全体奇函数和全体偶函数下的投影。这会引导我们在解决近似问题时找到思路。
所谓投影，就是在一个线性空间
上取两个子空间
使得
即对于任意
存在唯一的
和
使得
然后构造
上的线性变换
注意到
上的全体函数是线性空间，全体奇函数或偶函数是子空间。
投影变换是一类重要的线性变换，不妨举一些例子来说明。首先是它的根本特征，即投影变换
的值域
与核
满足
当然，它们正是前面的
在线性代数里，我们会证明对于有限维空间上的所有线性变换，值域与核的维数之和是原空间的维数，但是值域与核不一定是直和，从而和不一定是原空间。投影变换的值域与核的直和是原空间，这是很神奇的。
其次，投影变换
满足
学了线性代数以后，你会明白这意味着
的特征值只能有
和
甚至投影变换总是可以对角化，从而当
是有限维空间时，可以取出
的一个基使得
的矩阵表示为
如果在线性空间中引入度量，会让投影变换的内涵更加丰富，但是这次暂时不说了。
以上说了这么多，都在体现着
数学是一个整体
，各个不同的数学领域是可以被打通的。不论做不做数学工作，做哪些方面的工作，都应该把各种不同的数学都进行基本的了解，这样才能用好甚至研究数学。
作为补充阅读，我介绍傅里叶级数。更多的理论暂且不谈，仅仅想给出在一定条件下
上的函数可以表示为
其中
分别是一系列奇函数和偶函数的值。特别地，奇函数和偶函数的傅里叶级数的样子是可以想象的，它们更加简单。
另外，注意到幂函数
当
是奇数时
是奇函数，当
是偶数时
是偶函数，这可能是奇偶性名称的由来。而即将引入的幂级数
可以用来表示相当多复杂的函数，甚至是一些非初等函数。当
具有奇偶性时，数列
的偶数项或奇数项会变成零。这也是将函数表示成奇函数与偶函数之和的一种直观体现。
幂级数和傅里叶级数是做近似计算时最重要的工具，在这两种场合下，都可以看到函数的奇偶性发挥的重大作用。
参考
- ^https://zhuanlan.zhihu.com/p/259273324