曲面
曲面是非常值得研究的，在制造业中，曲面尤其重要，所以我们先从曲面开始。比如以下曲面：
它的方程是
z
=
3
x
2
+
4
x
y
+
5
y
2
z=3x^2+4xy+5y^2
z
=
3
x
2
+
4
x
y
+
5
y
2
，二次型就是要把这种多项式形式变成矩阵形式。
定义
二次型是一个向量的函数，它的定义为：
Q
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
Q(\bold x)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j
Q
(
x
)
=
i
=
1
∑
n
j
=
1
∑
n
a
ij
x
i
x
j
二次型有矩阵形式，所以二次型可以写成：
Q
(
x
）
=
x
T
A
x
Q(\bold x）=\bold x^TA\bold x
Q
(
x
）
=
x
T
A
x
它的标准矩阵形式为：
A
=
(
a
11
1
2
a
12
⋯
1
2
a
1
n
1
2
a
12
a
22
⋯
1
2
a
2
n
⋮
⋮
⋱
⋮
1
2
a
1
n
1
2
a
2
n
⋯
a
n
n
)
A=\begin{pmatrix} a_{11} & \frac12a_{12} & \cdots & \frac12a_{1n}\\ \frac12a_{12} & a_{22} & \cdots & \frac12a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac12a_{1n} & \frac12a_{2n} & \cdots & a_{nn}\\ \end{pmatrix}
A
=
a
11
2
1
a
12
⋮
2
1
a
1
n
2
1
a
12
a
22
⋮
2
1
a
2
n
⋯
⋯
⋱
⋯
2
1
a
1
n
2
1
a
2
n
⋮
a
nn
所以二次型的标准矩阵是一个对称阵。
举例
如定义以下二次型:
Q
(
x
）
=
3
x
1
x
1
+
4
x
1
x
2
+
5
x
2
x
2
Q(\bold x）=3x_1x_1+4x_1x_2+5x_2x_2
Q
(
x
）
=
3
x
1
x
1
+
4
x
1
x
2
+
5
x
2
x
2
它的标准型为：
A
=
(
3
2
2
5
)
A=\begin{pmatrix} 3 & 2\\ 2 & 5\\ \end{pmatrix}
A
=
(
3
2
2
5
)
但是也可以这样表示：
A
=
(
3
3
1
5
)
A=\begin{pmatrix} 3 & 3\\ 1 & 5\\ \end{pmatrix}
A
=
(
3
1
3
5
)
把向量
(
1
,
2
)
T
(1,2)^T
(
1
,
2
)
T
代入，计算结果都是31.但是由于对称的更容易计算，所以国内的书里二次型的矩阵都是对称的，因为目的是为了表示曲面，非对称的矩阵加大了计算难度，也没啥意思。