旋转矩阵乘积顺序
问题
给定一个初始旋转矩阵
R
1
R_{1}
R
1
，绕向量 r 旋转
θ
\theta
θ
度，即旋转矩阵
R
2
R_{2}
R
2
，最终得到旋转矩阵
R
3
R_{3}
R
3
，那么，该是
R
3
=
R
2
R
1
R_{3}=R_{2}R_{1}
R
3
=
R
2
R
1
还是
R
3
=
R
1
R
2
R_{3}=R_{1}R_{2}
R
3
=
R
1
R
2
呢？
旋转矩阵的乘积顺序分两种情况
-
固定坐标系：每次旋转都根据同一坐标系旋转，
左乘
单个旋转矩阵. 典型代表：
RPY角
-
非固定坐标系：每次旋转都根据上一次旋转后的坐标系旋转，
右乘
单个旋转矩阵. 典型代表：
ZYZ角
固定坐标系例子
比如，以固定轴的顺序ZYX旋转三次，角度分别为：
α
1
=
−
π
2
\alpha_{1}=-\frac{\pi}{2}
α
1
=
−
2
π
,
α
2
=
−
π
4
\alpha_{2}=-\frac{\pi}{4}
α
2
=
−
4
π
,
α
3
=
π
4
\alpha_{3}=\frac{\pi}{4}
α
3
=
4
π
， 求最终的旋转矩阵.
解答：
R
Z
(
−
π
2
)
=
(
0
1
0
−
1
0
0
0
0
1
)
R_{Z}(-\frac{\pi}{2})=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
R
Z
(
−
2
π
)
=
⎝
⎛
0
−
1
0
1
0
0
0
0
1
⎠
⎞
R
Y
(
−
π
4
)
=
(
1
/
2
0
−
1
/
2
0
1
0
1
/
2
0
1
/
2
)
R_{Y}(-\frac{\pi}{4})=\left( \begin{matrix} 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \end{matrix} \right)
R
Y
(
−
4
π
)
=
⎝
⎛
1
/
2
0
1
/
2
0
1
0
−
1
/
2
0
1
/
2
⎠
⎞
R
X
(
π
4
)
=
(
1
0
0
0
1
/
2
−
1
/
2
0
1
/
2
1
/
2
)
R_{X}(\frac{\pi}{4})=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{matrix} \right)
R
X
(
4
π
)
=
⎝
⎛
1
0
0
0
1
/
2
1
/
2
0
−
1
/
2
1
/
2
⎠
⎞
最终旋转矩阵为：
R
=
R
X
R
Y
R
Z
=
(
0
1
/
2
−
1
/
2
−
1
/
2
−
0.5
−
0.5
−
1
/
2
0.5
0.5
)
R=R_{X}R_{Y}R_{Z}=\left( \begin{matrix} 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & -0.5 & -0.5 \\ -1/\sqrt{2} & 0.5 & 0.5 \end{matrix} \right)
R
=
R
X
R
Y
R
Z
=
⎝
⎛
0
−
1
/
2
−
1
/
2
1
/
2
−
0
.
5
0
.
5
−
1
/
2
−
0
.
5
0
.
5
⎠
⎞
非固定坐标系例子
如果是绕ZY‘X’‘旋转的话，最终旋转矩阵就是：
R
=
R
Z
R
Y
′
R
X
′
′
R=R_{Z}R_{Y’}R_{X”}
R
=
R
Z
R
Y
′
R
X
′
′