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小白知识

二维互相关运算

输入是一个二维输入数组和一个二维核（kernel）数组，输出也是一个二维数组，其中核数组通常称为

卷积核

或

过滤器

（filter）。卷积核的尺寸通常小于输入数组，卷积核在输入数组上滑动，在每个位置上，卷积核与该位置处的输入子数组

按元素相乘并求和

，得到输出数组中相应位置的元素。


图例

：阴影部分分别是输入的第一个计算区域、核数组以及对应的输出。




代码实现

：corr2d函数实现二维互相关运算，它接受输入数组X与核数组K，并输出数组Y。

import torch 
import torch.nn as nn

def corr2d(X, K):
    H, W = X.shape
    h, w = K.shape
    Y = torch.zeros(H - h + 1, W - w + 1)
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            Y[i, j] = (X[i: i + h, j: j + w] * K).sum()
    return Y

构造上图中的输入数组X、核数组K来验证二维互相关运算的输出。

X = torch.tensor([[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]])
K = torch.tensor([[0, 1], [2, 3]])
Y = corr2d(X, K)
print(Y)

结果输出：

tensor([[19., 25.],
        [37., 43.]])

互相关运算与卷积运算的关系

卷积层得名于卷积运算，但卷积层中用到的并非卷积运算而是互相关运算。我们将核数组上下翻转、左右翻转，再与输入数组做互相关运算，这一过程就是卷积运算。由于卷积层的核数组是可学习的，所以使用互相关运算与使用卷积运算并无本质区别。

二维卷积层

二维卷积层将输入和卷积核做互相关运算，并加上一个标量偏置来得到输出。卷积层的模型参数包括

卷积核

和

标量偏置

。


代码实现：

class Conv2D(nn.Module):
    def __init__(self, kernel_size):
        super(Conv2D, self).__init__()
        self.weight = nn.Parameter(torch.randn(kernel_size))
        self.bias = nn.Parameter(torch.randn(1))

    def forward(self, x):
        return corr2d(x, self.weight) + self.bias

特征图与感受野

• 
  特征图
  
  ：二维卷积层输出的二维数组可以看作是输入在空间维度（宽和高）上某一级的表征（feature map）。
• 
  感受野
  
  ：影响元素x的前向计算的所有可能输入区域（可能大于输入的实际尺寸）

卷积层的两个超参数–填充和步幅

填充（padding）

:是指在输入高和宽的两侧填充元素（通常是0元素），下图里我们在原输入高和宽的两侧分别添加了值为0的元素。

原输入的高和宽是nh和nw，卷积核的高和宽是kh和kw，在高的两侧一共填充ph行，在宽的两侧一共填充pw列，则输出形状为：




步幅（stride）

：在互相关运算中，卷积核在输入数组上滑动，每次滑动的行数与列数即是步幅。

• 当高上步幅为sh，宽上步幅为sw时，输出形状为：

• 如果ph=kh−1，pw=kw−1，那么输出形状将简化为

• 如果输入的高和宽能分别被高和宽上的步幅整除，那么输出形状将是：

多输入通道

输入数据的通道数为ci，卷积核形状为kh×kw，我们为每个输入通道各分配一个形状为kh×kw的核数组，将ci个互相关运算的二维输出按通道相加，得到一个二维数组作为输出。我们把ci个核数组在通道维上连结，即得到一个形状为ci×kh×kw的卷积核。


图例

：含2个输入通道的二维互相关计算

卷积层与全连接层处理图像的对比

全连接层的局限性：

• 全连接层把图像展平成一个向量，在输入图像上相邻的元素可能因为展平操作不再相邻，网络难以捕捉局部信息。而且图像在同一列邻近的像素在这个向量中可能相距较远。它们构成的模式可能难以被模型识别。
• 对于大尺寸的输入图像，使用全连接层容易导致模型过大。

卷积层的优势：

• 卷积层保留输入形状。
• 卷积层通过滑动窗口将同一卷积核与不同位置的输入重复计算，从而避免参数尺寸过大

池化层

定义

：主要用于缓解卷积层对位置的过度敏感性。池化层每次对输入数据的一个固定形状窗口（又称池化窗口）中的元素计算输出，池化层直接计算池化窗口内元素的

最大值

或者

平均值

，该运算也分别叫做

最大池化

或

平均池化

。


图例

：池化窗口形状为2×2的最大池化。




命名规则

：池化窗口形状为p×q的池化层称为p×q池化层，其中的池化运算叫作p×q池化。

卷积层与池化层的异同

• 卷积层在固定窗口内按元素相乘并求和；池化层直接计算池化窗口内元素的最大值或者平均值
• 池化层也可以在输入的高和宽两侧填充并调整窗口的移动步幅来改变输出形状。池化层填充和步幅与卷积层填充和步幅的工作机制一样。
• 在处理多通道输入数据时，池化层对每个输入通道分别池化，但不会像卷积层那样将各通道的结果按通道相加。这意味着池化层的输出通道数与输入通道数相等。

LeNet 模型

LeNet分为

卷积层块

和

全连接层

块两个部分。




图例分析：

• 卷积层块里的基本单位是卷积层后接平均池化层：卷积层用来识别图像里的空间模式，如线条和物体局部，之后的平均池化层则用来降低卷积层对位置的敏感性。
• 卷积层块由两个这样的基本单位重复堆叠构成。在卷积层块中，每个卷积层都使用5×5的窗口，并在输出上使用sigmoid激活函数。第一个卷积层输出通道数为6，第二个卷积层输出通道数则增加到16。
• 全连接层块含3个全连接层。它们的输出个数分别是120、84和10，其中10为输出的类别个数。

代码实现：

 #net
 class Flatten(torch.nn.Module):  #展平操作
     def forward(self, x):
         return x.view(x.shape[0], -1)
 
 class Reshape(torch.nn.Module): #将图像大小重定型
     def forward(self, x):
         return x.view(-1,1,28,28)      #(B x C x H x W)
     
 net = torch.nn.Sequential(     #Lelet                                                  
     Reshape(),
     nn.Conv2d(in_channels=1, out_channels=6, kernel_size=5, padding=2), #b*1*28*28  =>b*6*28*28
     nn.Sigmoid(),                                                       
     nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),                              #b*6*28*28  =>b*6*14*14
     nn.Conv2d(in_channels=6, out_channels=16, kernel_size=5),           #b*6*14*14  =>b*16*10*10
     nn.Sigmoid(),
     nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),                              #b*16*10*10  => b*16*5*5
     Flatten(),                                                          #b*16*5*5   => b*400
     nn.Linear(in_features=16*5*5, out_features=120),
     nn.Sigmoid(),
     nn.Linear(120, 84),
     nn.Sigmoid(),
     nn.Linear(84, 10)
 )
 ```