上篇文章
强化学习——时序差分 (TD) 控制算法 Sarsa 和 Q-Learning
主要介绍了 Sarsa 和 Q-Learning 两种时序差分控制算法，在这两种算法内部都要维护一张 Q 表格，对于小型的强化学习问题是非常灵活高效的。但是在状态和可选动作非常多的问题中，这张Q表格就变得异常巨大，甚至超出内存，而且查找效率极其低下，从而限制了时序差分的应用场景。近些年来，随着神经网络的兴起，基于深度学习的强化学习称为了主流，也就是深度强化学习（DRL）。
一、函数逼近介绍
限制 Sarsa 和 Q-Learning 的应用场景原因是需要维护一张巨大的 Q 表格，那么能不能用其他的方式来代替 Q表格呢？很自然的，就想到了函数。
v
^
(
s
,
w
)
≈
v
π
(
s
)
q
^
(
s
,
a
,
w
)
≈
q
π
(
s
,
a
)
π
^
a
,
s
,
w
≈
π
(
a
∣
s
)
\hat{v}(s, w) \approx v_\pi(s) \\ \hat{q}(s,a, w) \approx q_\pi(s, a) \\ \hat{\pi}{a,s,w} \approx \pi(a|s)
v
^
(
s
,
w
)
≈
v
π
(
s
)
q
^
(
s
,
a
,
w
)
≈
q
π
(
s
,
a
)
π
^
a
,
s
,
w
≈
π
(
a
∣
s
)
也就是说可以用一个函数来代替 Q 表格，不断更新
q
(
s
,
a
)
q(s,a)
q
(
s
,
a
)
的过程就可以转化为用参数来拟合逼近真实 q 值的过程。这样学习的过程不是更新 Q 表格，而是更新 参数 w 的过程。
下面是几种不同的拟合方式：
第一种函数接受当前的 状态 S 作为输入，输出拟合后的价值函数
第二种函数同时接受 状态 S 和 动作 a 作为输入，输出拟合后的动作价值函数
第三种函数接受状态 S，输出每个动作对应的动作价值函数 q
常见逼近函数有线性特征组合方式、神经网络、决策树、最近邻等，在这里只讨论可微分的拟合函数：线性特征组合和神经网络两种方式。
1、知道真实 V 的函数逼近
对于给定的一个状态 S 假定知道真实的
v
π
(
s
)
v_\pi(s)
v
π
(
s
)
，然后经过拟合得到
v
^
(
s
,
w
)
\hat{v}(s, w)
v
^
(
s
,
w
)
，于是就可以使用均方差来计算损失
J
(
w
)
=
E
π
[
(
v
π
(
s
)
−
v
^
(
s
,
w
)
)
2
]
J(w) = E_\pi[(v_\pi(s) – \hat{v}(s, w))^2]
J
(
w
)
=
E
π
[(
v
π
(
s
)
−
v
^
(
s
,
w
)
)
2
]
利用梯度下降去找到局部最小值：
Δ
w
=
−
1
2
α
∇
w
v
^
(
s
,
w
)
w
t
+
1
=
w
t
+
Δ
w
\Delta w = -\frac{1}{2}\alpha \nabla_w\hat{v}(s,w) \\ w_{t+1} = w_t + \Delta w
Δ
w
=
−
2
1
α
∇
w
v
^
(
s
,
w
)
w
t
+
1
=
w
t
+
Δ
w
可以提取一些特征向量来表示当前的 状态 S，比如对于 gym 的 CartPole 环境，提取的特征有推车的位置、推车的速度、木杆的角度、木杆的角速度等
$$ x(s) = (x_1(s), x_2(s), \cdots,x_n(s))^T $$
此时价值函数 就可以用线性特征组合表示：
v
^
(
s
,
w
)
=
x
(
s
)
T
w
=
∑
j
=
1
n
x
j
(
s
)
⋅
w
j
\hat{v}(s,w) = x(s)^Tw=\sum_{j=1}^nx_j(s)\cdot w_j
v
^
(
s
,
w
)
=
x
(
s
)
T
w
=
j
=
1
∑
n
x
j
(
s
)
⋅
w
j
使用均方差计算损失函数：
J
(
w
)
=
E
π
[
(
v
π
(
s
)
−
x
(
s
)
T
w
)
2
]
J(w) = E_\pi[(v_\pi(s) – x(s)^T w)^2]
J
(
w
)
=
E
π
[(
v
π
(
s
)
−
x
(
s
)
T
w
)
2
]
因此更新规则为：
Δ
w
=
α
(
v
π
(
s
)
−
v
^
(
s
,
w
)
)
⋅
x
(
s
)
U
p
d
a
t
e
=
S
t
e
p
S
i
z
e
∗
P
r
e
d
i
c
t
i
o
n
E
r
r
o
r
∗
F
e
a
t
u
r
e
V
a
l
u
e
\Delta w = \alpha(v_\pi(s)-\hat{v}(s,w))\cdot x(s) \\ Update = StepSize\;*\;PredictionError\;*\;FeatureValue
Δ
w
=
α
(
v
π
(
s
)
−
v
^
(
s
,
w
))
⋅
x
(
s
)
U
p
d
a
t
e
=
St
e
pS
i
ze
∗
P
re
d
i
c
t
i
o
n
E
rror
∗
F
e
a
t
u
re
Va
l
u
e
二、预测过程中的价值函数逼近
因为函数逼近的就是真实的状态价值，所以在实际的强化学习问题中是没有
v
π
(
s
)
v_\pi(s)
v
π
(
s
)
的，只有奖励。所以在函数逼近过程的监督数据为：
<
S
1
,
G
1
>
,
<
S
2
,
G
2
>
,
⋯
,
<
S
t
,
G
T
>
<S_1, G_1>, <S_2, G_2>, \cdots ,<S_t, G_T>
<
S
1
,
G
1
>
,
<
S
2
,
G
2
>
,
⋯
,
<
S
t
,
G
T
>
对于蒙特卡洛有：
Δ
w
=
α
(
G
t
−
v
^
(
s
t
,
w
)
)
∇
w
v
^
(
s
t
,
w
)
=
α
(
G
t
−
v
^
(
s
t
,
w
)
)
⋅
x
(
s
t
)
\Delta w = \alpha({\color{red}G_t} – \hat{v}(s_t, w))\nabla_w\hat{v}(s_t, w) \\ = \alpha({\color{red}G_t} – \hat{v}(s_t, w)) \cdot x(s_t)
Δ
w
=
α
(
G
t
−
v
^
(
s
t
,
w
))
∇
w
v
^
(
s
t
,
w
)
=
α
(
G
t
−
v
^
(
s
t
,
w
))
⋅
x
(
s
t
)
其中奖励
G
t
G_t
G
t
是无偏（unbiased）的：
E
[
G
t
]
=
v
π
(
s
t
)
E[G_t] = v_\pi(s_t)
E
[
G
t
]
=
v
π
(
s
t
)
。值得一提的是，蒙特卡洛预测过程的函数逼近在线性或者是非线性都能收敛。
对于TD算法，使用
v
^
(
s
t
,
w
)
\hat{v}(s_t, w)
v
^
(
s
t
,
w
)
来代替 TD Target。所以在价值函数逼近（VFA）使用的训练数据如下所示：
<
S
1
,
R
2
+
γ
v
^
(
s
2
,
w
)
>
,
<
S
2
,
R
3
+
γ
v
^
(
s
3
,
w
)
>
,
⋯
,
<
S
T
−
1
,
R
T
>
<S_1, R_2+\gamma \hat{v}(s_2, w)>,<S_2, R_3+\gamma \hat{v}(s_3, w)>,\cdots,<S_{T-1}, R_T>
<
S
1
,
R
2
+
γ
v
^
(
s
2
,
w
)
>
,
<
S
2
,
R
3
+
γ
v
^
(
s
3
,
w
)
>
,
⋯
,
<
S
T
−
1
,
R
T
>
于是对于 TD(0) 在预测过程的函数逼近有：
Δ
w
=
α
(
R
t
+
1
+
γ
v
^
(
s
t
+
1
,
w
)
−
v
^
(
s
t
,
w
)
)
∇
w
v
^
(
s
t
,
w
)
=
α
(
R
t
+
1
+
γ
v
^
(
s
t
+
1
,
w
)
−
v
^
(
s
t
,
w
)
)
⋅
x
(
s
)
\Delta w = \alpha({\color{red}R_{t+1} + \gamma \hat{v}(s_{t+1}, w)}-\hat{v}(s_t, w))\nabla_w\hat{v}(s_t, w) \\ = \alpha({\color{red}R_{t+1} + \gamma \hat{v}(s_{t+1}, w)}-\hat{v}(s_t, w))\cdot x(s)
Δ
w
=
α
(
R
t
+
1
+
γ
v
^
(
s
t
+
1
,
w
)
−
v
^
(
s
t
,
w
))
∇
w
v
^
(
s
t
,
w
)
=
α
(
R
t
+
1
+
γ
v
^
(
s
t
+
1
,
w
)
−
v
^
(
s
t
,
w
))
⋅
x
(
s
)
因为TD中的 Target 中包含了预测的
v
^
(
s
,
t
)
\hat{v}(s,t)
v
^
(
s
,
t
)
，所以它对于真实的
v
π
(
s
t
)
v_\pi(s_t)
v
π
(
s
t
)
是有偏（biased）的，因为监督数据是估计出来的，而不是真实的数据。也就是
E
[
R
t
+
1
+
γ
v
^
(
s
t
+
1
,
w
)
]
≠
v
π
(
s
t
)
E[R_{t+1} + \gamma \hat{v}(s_{t+1}, w)] \neq v_\pi(s_t)
E
[
R
t
+
1
+
γ
v
^
(
s
t
+
1
,
w
)]
=
v
π
(
s
t
)
。所以把这个过程叫做 semi-gradient，不是完全的梯度下降，而是忽略了权重向量 w 对 Target 的影响。
三、控制过程中的价值函数逼近
类比于MC 和 TD 在使用 Q 表格时的更新公式，对于策略控制过程可以得到如下公式。和上面预测过程一样，没有真实的
q
π
(
s
,
a
)
q_\pi(s,a)
q
π
(
s
,
a
)
，所以对其进行了替代：
-
对于 MC，Target 是
Gt
G_t
G
t
：
Δ
w
=
α
(
G
t
−
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
)
∇
w
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
\Delta w = \alpha({\color{red}G_t} – \hat{q}(s_t, a_t, w))\nabla_w\hat{q}(s_t, a_t, w)
Δ
w
=
α
(
G
t
−
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
))
∇
w
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
-
对于 Sarsa，TD Target 是
Rt
+
1
+
γ
q
^
(
s
t
+
1
,
a
t
+
1
,
w
)
R_{t+1} + \gamma \hat{q}(s_{t+1}, a_{t+1}, w)
R
t
+
1
+
γ
q
^
(
s
t
+
1
,
a
t
+
1
,
w
)
:
Δ
w
=
α
(
R
t
+
1
+
γ
q
^
(
s
t
+
1
,
a
t
+
1
,
w
)
−
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
)
⋅
∇
w
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
\Delta w = \alpha ({\color{red}R_{t+1} + \gamma \hat{q}(s_{t+1}, a_{t+1}, w)} – \hat{q}{(s_t, a_t, w)})\cdot \nabla_w\hat{q}{(s_t, a_t, w)}
Δ
w
=
α
(
R
t
+
1
+
γ
q
^
(
s
t
+
1
,
a
t
+
1
,
w
)
−
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
)
⋅
∇
w
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
-
对于 Q-Learning，TD Target 是
Rt
+
1
+
γ
m
a
x
a
q
^
(
s
t
+
1
,
a
t
,
w
)
R_{t+1} + \gamma\;max_a\; \hat{q}(s_{t+1}, a_t, w)
R
t
+
1
+
γ
ma
x
a
q
^
(
s
t
+
1
,
a
t
,
w
)
:
Δ
w
=
α
(
R
t
+
1
+
γ
m
a
x
a
q
^
(
s
t
+
1
,
a
t
,
w
)
−
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
)
⋅
∇
w
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
\Delta w = \alpha ({\color{red}R_{t+1} + \gamma\;max_a\; \hat{q}(s_{t+1}, a_t, w)} – \hat{q}{(s_t, a_t, w)})\cdot \nabla_w\hat{q}{(s_t, a_t, w)}
Δ
w
=
α
(
R
t
+
1
+
γ
ma
x
a
q
^
(
s
t
+
1
,
a
t
,
w
)
−
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
)
⋅
∇
w
q
^
(
s
t
,
a
t
,
w
)
四、关于收敛的问题
在上图中，对于使用 Q 表格的问题，不管是MC还是 Sarsa 和 Q-Learning 都能找到最优状态价值。如果是一个大规模的环境，采用线性特征拟合，其中MC 和 Sarsa 是可以找到一个近似最优解的。当使用非线性拟合（如神经网络），这三种算法都很难保证能找到一个最优解。
其实对于off-policy 的TD Learning强化学习过程收敛是很困难的，主要有以下原因：
- 使用函数估计：对于 Sarsa 和 Q-Learning 中价值函数的的近似，其监督数据 Target 是不等于真实值的，因为TD Target 中包含了需要优化的 参数 w，也叫作 半梯度TD，其中会存在误差。
-
Bootstrapping：在更新式子中，上面红色字体过程中有 贝尔曼近似过程，也就是使用之前的估计来估计当前的函数，这个过程中也引入了不确定因素。（在这个过程中MC会比TD好一点，因为MC中代替 Target 的
Gt
G_t
G
t
是无偏的）。 - Off-policy 训练：对于 off-policy 策略控制过程中，使用 behavior policy 来采集数据，在优化的时候使用另外的 target policy 策略来优化，两种不同的策略会导致价值函数的估计变的很不准确。
上面三个因素就导致了强化学习训练的死亡三角，也是强化学习相对于监督学习训练更加困难的原因。
下一篇就来介绍本系列的第一个深度强化学习算法 Deep Q-Learning（DQN）
参考资料：
-
B站周老师的
强化学习纲要第四节上