伯努利分布
伯努利分布（Bernoulli Distribution），是一种
离散分布
，又称为 “0-1 分布” 或 “两点分布”。
在讲伯努利分布前首先需要介绍伯努利试验（Bernoulli Trial）。
伯努利试验
伯努利试验是只有两种可能结果的单次随机试验，即对于一个随机变量 X：
P
[
X
=
1
]
=
p
P
[
X
=
0
]
=
1
−
p
P[X=1]=p\\ P[X=0]=1−p
P
[
X
=
1
]
=
p
P
[
X
=
0
]
=
1
−
p
例如抛硬币的正面或反面，物品有缺陷或没缺陷，病人康复或未康复，此类满足「
只有两种可能，试验结果相互独立且对立
」的随机变量通常称为伯努利随机变量。对于伯努利随机变量 X，如果使用 1 表示成功，其概率为
p(0<p<1)
；使用 0 表示失败，其概率为
q=1-p
。则可以称伯努利随机量 X 服从参数为 p 的伯努利分布，
其分布律为：
f
(
x
∣
p
)
=
{
p
x
q
1
−
x
,
x
=
0
,
1
0
,
x
≠
0
,
1
f(x|p)=\begin{cases} \ p^xq^{1-x},&x=0,1\\ \ 0,&x\neq0,1 \end{cases}
f
(
x
∣
p
)
=
{
p
x
q
1
−
x
,
0
,
x
=
0
,
1
x
=
0
,
1
如果试验E是一个伯努利试验，将E独立重复地进行n次，则将这一系列重复的独立试验称为是n重伯努利试验。
伯努利分布
对于伯努利分布来说，其离散型随机变量期望为：
E
(
x
)
=
∑
x
∗
p
(
x
)
=
1
∗
p
+
0
∗
(
1
−
p
)
=
p
E(x) = ∑x∗p(x) = 1∗p+0∗(1−p) = p
E
(
x
)
=
∑
x
∗
p
(
x
)
=
1
∗
p
+
0
∗
(
1
−
p
)
=
p
方差为：
D
(
x
)
=
E
(
x
2
)
−
(
E
2
)
(
x
)
=
12
∗
p
−
p
2
=
p
(
1
−
p
)
D(x) = E(x^2)−(E^2)(x) = 12∗p−p2 = p(1−p)
D
(
x
)
=
E
(
x
2
)
−
(
E
2
)
(
x
)
=
1
2
∗
p
−
p
2
=
p
(
1
−
p
)