1 曲线积分

1.1 对弧长的曲线积分

1.1.1 定义

1.1.1.1 表达式

\int L f (x, y) d s = lim λ \to 0 \sum i = 1 n f (ξ i, η i) Δ s i

$\int _ L f(x, y)ds = \lim _{\lambda \to 0} \sum _ {i = 1} ^ n f(\xi_i, \eta _ i) \Delta s_i$

1.1.1.2 存在性

当

f

(

x

,

y

)

(

)

$f(x, y)$
在曲线弧

$L$
上连续，则

$\int_{L} f (x, y) d s$

\int_{L} f (x, y) d s

$\int _ L f(x, y)ds$
存在。

1.1.1.3 物理意义

∫

L

f

(

x

,

y

)

d

s

(

)

s

$\int _ L f(x, y)ds$
表示线密度为

f

(

x

,

y

)

(

)

$f(x, y)$
的曲线弧

$L$
的质量。

1.1.1.4 空间曲线弧

若

$Γ$

Γ

$\Gamma$
为空间曲线弧，则

\int Γ f (x, y, z) d s = lim λ \to 0 \sum i = 1 n f (ξ i, η i, ς i) Δ s i

$\int _ \Gamma f(x, y, z) ds = \lim _ {\lambda \to 0} \sum _ {i = 1} ^ n f(\xi_i, \eta _ i, \varsigma _i) \Delta s_i$

1.1.2 性质

1.1.2.1 线性性质

\int L [α f (x, y) + β g (x, y)] d s = α \int L f (x, y) d s + β \int L g (x, y) d s, （ α, β 为 常 数 ）

$\int _ L [\alpha f(x, y) + \beta g(x, y)]ds = \alpha \int _ L f(x, y)ds + \beta \int _ L g(x, y)ds, （\alpha, \beta 为常数）$

1.1.2.2 积分弧段可加性

若积分弧段

$L$
可分为两段光滑曲线弧

$L_{1}, L_{2}$

L_{1}, L_{2}

$L_1, L_2$
,则

\int L f (x, y) d s = \int L 1 f (x, y) d s + \int L 2 f (x, y) d s

$\int _ L f(x, y)ds = \int _ {L _ 1} f(x, y)ds + \int _ {L _ 2} f(x, y)ds$

1.1.2.3 比较定理

设在

$L$
上

$f (x, y) \leq g (x, y)$

f (x, y) \leq g (x, y)

$f(x, y) \le g(x, y)$
则

\int L f (x, y) d s \leq \int L g (x, y) d s

$\int _ L f(x, y)ds \le \int _ L g(x, y)ds$

1.1.2.4 中值定理

若

f

(

m

)

(

)

$f(m)$
在

$L$
上连续，则存在

$M_{0} \in L$

M_{0} \in L

$M_0 \in L$
使得

∫

L

f

(

m

)

d

s

=

f

(

M

0

)

|

L

|

(

)

(

)

|

$\int _ L f(m) ds = f(M_0)|L|$
，其中

|

L

|

|

$|L|$
是曲线

$L$
的长度。

1.1.2.5 无向性

\int_{L} f (x, y) d s = \int_{L^{-}} f (x, y) d s （ 其 中 L^{-} 是 L 的 反 向 弧 ）

$\int _ L f(x, y)ds = \int _ {L ^ -} f(x, y)ds（其中 {L ^ -} 是 L 的反向弧）$

1.1.3 计算法

1.1.3.1 公式

设

f

(

x

,

y

)

(

)

$f(x, y)$
在曲线弧

$L$
上有定义且连续，

$L$

L

$L$
的参数方程为

{x = φ (t) y = ψ (t) (α \leq t \leq β)

$\left \{ \begin{aligned} x = \varphi(t)\\ y = \psi(t) \end{aligned} (\alpha \le t \le \beta) \right.$

其中

φ

′

2

(

t

)

+

ψ

′

2

(

t

)

≠

0

′

(

)

′

(

)

≠

0

$\varphi' ^ 2 (t) + \psi' ^ 2 (t) \ne 0$
，则曲线积分

∫

L

f

(

x

,

y

)

d

s

(

)

s

$\int _ L f(x, y)ds$
存在，且

\int L f (x, y) d s = \int β α f (φ (t), ψ (t)) φ' 2 (t) + ψ' 2 (t) - - - - - - - - - - - \sqrt d t (α < β)

$\int _ L f(x, y)ds = \int _ \alpha ^ \beta f(\varphi(t), \psi(t)) \sqrt{\varphi' ^ 2 (t) + \psi' ^ 2 (t)} dt (\alpha < \beta )$

1.1.3.2 注意要点

1.1.3.2.1 特殊情况

{x = x (y) y = y

$\left \{ \begin{aligned} & x = x(y)\\ & y = y \end{aligned} \right.$

或

{x = x y = y (x)

$\left \{ \begin{aligned} & x = x\\ & y = y(x) \end{aligned} \right.$

1.1.3.2.2 将曲线方程代入被积函数进行化简

曲线积分的积分区域是曲线段，因而被积函数中的

$x$
和

$y$

y

$y$
满足积分曲线

$L$
的方程时，可将

$L$

L

$L$
的方程代入被积函数进行化简，这一点与定积分和重积分不同。

1.1.3.2.3 利用对称性化简计算

1.2 对坐标的曲线积分

1.2.1 定义

1.2.1.1 公式

\int L P (x, y) d x + Q (x, y) d y = lim λ \to 0 \sum i = 1 n [P (ξ i, η i) Δ x i + Q (ξ i, η i) Δ y i]

$\int _ L P(x, y) dx + Q(x, y) dy = \lim _ {\lambda \to 0} \sum _ {i = 1} ^ n [P(\xi_i, \eta _ i) \Delta x _ i + Q(\xi_i, \eta _ i) \Delta y _ i]$

1.2.1.2 物理意义

它表示质点在平面力场

F

=

P

i

→

+

Q

j

→

→

→

$F = \vec{P _ i} + \vec{Q _ j}$
的作用下，沿着光滑曲线

$L$
从点

$A$

A

$A$
移动到点

$B$
，场力

$F$

F

$F$
所作的功。

1.2.1.3 空间曲线弧

如果

$\Gamma$
为空间曲线弧，则曲线积分为：

\int Γ P d x + Q d y + R d z = lim λ \to 0 \sum i = 1 n [P (ξ i, η i, ς i) Δ x i + Q (ξ i, η i, ς i) Δ y i + R (ξ i, η i, ς i) Δ z i]

$\int _ \Gamma Pdx + Qdy + Rdz = \lim _ {\lambda \to 0} \sum _ {i = 1} ^ n [P(\xi_i, \eta _ i, \varsigma _i) \Delta x_i + Q(\xi_i, \eta _ i, \varsigma _i) \Delta y_i + R(\xi_i, \eta _ i, \varsigma _i) \Delta z_i]$

1.2.2 性质

1.2.2.1 线性性质

\int L [α (P d x + Q d y) + β (P d x + Q d y)] = α \int L P d x + Q d y + β \int L P d x + Q d y, （ α, β 为 常 数 ）

$\int _ L [\alpha (Pdx + Qdy) + \beta (Pdx + Qdy)] = \alpha \int _ L Pdx + Qdy + \beta \int _ L Pdx + Qdy, （\alpha, \beta 为常数）$

1.2.2.2 有向性

\int L P (x, y) d x + Q (x, y) d y = - \int L - P (x, y) d x + Q (x, y) d y

$\int _ L P(x, y) dx + Q(x, y) dy = - \int _ {L ^ -} P(x, y) dx + Q(x, y) dy$

1.2.2.3 对积分弧段的可加性

\int L 1 + L 2 P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \int L 1 P (x, y) d x + Q (x, y) d y + \int L 2 P (x, y) d x + Q (x, y) d y

$\int _ {L _ 1 + L _ 2} P(x, y) dx + Q(x, y) dy = \int _ {L _ 1} P(x, y) dx + Q(x, y) dy + \int _ {L _ 2} P(x, y) dx + Q(x, y) dy$

1.2.3 计算法

1.2.3.1 公式

$L$
的参数方程为

{\begin{aligned} x = φ (t) \\ y = ψ (t) \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} x = \varphi(t)\\ y = \psi(t) \end{aligned} \right.$

\int L f (x, y) d s = \int β α [P (φ (t), ψ (t)) φ' 2 (t) + Q (φ (t), ψ (t)) ψ' 2 (t)] d t

$\int _ L f(x, y)ds = \int _ \alpha ^ \beta [P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi' ^ 2 (t) + Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi' ^ 2 (t) ]dt$

$\alpha$
对应于

$L$
的起点，

$β$

β

$\beta$
对应于

$L$
的终点。

1.2.3.2 注意要点

1.2.3.2.1 特殊情况

{\begin{aligned} x = x (y) \\ y = y \end{aligned}

$\left \{ \begin{aligned} & x = x(y)\\ & y = y \end{aligned} \right.$

或

{x = x y = y (x)

$\left \{ \begin{aligned} & x = x\\ & y = y(x) \end{aligned} \right.$

1.2.3.2.2 将曲线方程代入被积函数进行化简

曲线积分的积分区域是曲线段，因而被积函数中的

$x$
和

$y$

y

$y$
满足积分曲线

$L$
的方程时，可将

$L$

L

$L$
的方程代入被积函数进行化简，这一点与定积分和重积分不同。

1.2.3.2.3 利用对称性化简计算

1.2.4 两类曲线积分之间的联系

1.2.4.1 平面曲线上的联系

\int L P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \int L [P (x, y) cos α + Q (x, y) cos β] d s

$\int _ L P(x, y)dx + Q(x, y)dy = \int _ L [P(x, y) \cos \alpha + Q(x, y) \cos \beta] ds$

其中

α

(

x

,

y

)

,

β

(

x

,

y

)

(

)

(

)

$\alpha (x, y), \beta (x, y)$
为有向曲线弧

$L$
在点

$(x, y)$

(x, y)

$(x, y)$
处的切向量的方向角。

1.2.4.2 空间曲线上的联系

\int Γ P (x, y, z) d x + Q (x, y, z) d y + R (x, y, z) d z = \int Γ [P (x, y, z) cos α + Q (x, y, z) cos β + R (x, y, z) cos γ] d s

$\int _ \Gamma P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz= \int _ \Gamma [P(x, y, z) \cos \alpha + Q(x, y, z) \cos \beta + R(x, y, z) \cos \gamma] ds$

其中

α

(

x

,

y

,

z

)

,

β

(

x

,

y

,

z

)

,

γ

(

x

,

y

,

z

)

(

)

(

)

(

)

$\alpha (x, y, z), \beta (x, y, z), \gamma (x, y, z)$
为有向曲线弧

$\Gamma$
在点

(

x

,

y

,

z

)

)

$(x, y, z)$
处的切向量的方向角。

1.3 格林公式及其应用

1.3.1 内容

设闭区域

$D$
由光滑或分段光滑的曲线

$L$

L

$L$
围成，函数

P

(

x

,

y

)

,

Q

(

x

,

y

)

(

)

(

)

$P(x, y), Q(x, y)$
在

$D$
上具有一阶连续偏导，则有

\iint_{D} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) d x d y = \oint_{L} P d x + Q d y

$\iint _ D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dx dy = \oint _ L P dx + Q dy$

其中

$L$
为

$D$

D

$D$
的正向边界曲线。

1.3.2 意义

1.3.2.1 建立了二重积分与曲线积分之间的联系

1.3.2.2 牛顿—莱布尼兹公式的推广

1.3.2.3 计算封闭曲线围成图形的面积

A = 1 2 \oint L x d y - y d x

$A = \frac{1}{2} \oint _ L x dy - y dx$

1.3.3 注意要点

在应用格林公式时，首先检验条件是否满足，即

闭区域

$D$
是否由光滑或分段光滑的曲线

$L$
$L$

$L$
围成
函数

P

(

x

,

y

)

,

Q

(

x

,

y

)

(

x

,

y

)

,

Q

(

x

,

y

)

$P(x, y), Q(x, y)$
在

$D$
上是否具有一阶连续偏导
$L$
$L$

$L$
是否为

$D$
的正向边界曲线。

1.3.4 常用方法

1.3.4.1 直接计算

1.3.4.2 补边法

$L$

L

$L$
非闭是，用补边法，使得

L

+

L

1

1

$L + L _ 1$
闭合，再利用格林公式计算

1.3.4.3 挖洞法

当被积式在曲线所围区域中有奇点是，用“挖洞”法将奇点挖掉，再利用格林公式计算，这时小曲线的选择要便于其上的线积分的计算

1.3.5 曲线积分与路径无关

1.3.5.1 定义

设曲线

L

1

1

$L _ 1$
与

L

2

2

$L _ 2$
是单连通区域

$D$
内起点为

$A$

A

$A$
、终点为

$B$
的任意两条有向曲线

曲线积分与路径无关

$\Leftrightarrow \int_{L_{1}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \int_{L_{2}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y$

\Leftrightarrow \int_{L_{1}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y = \int_{L_{2}} P (x, y) d x + Q (x, y) d y

$\Leftrightarrow \int _ {L _ 1} P(x, y) dx + Q(x, y) dy = \int _ {L _ 2} P(x, y) dx + Q(x, y) dy$

1.3.5.2 简便计算法

选择平行于坐标轴的折线

A

C

B

B

$ACB$

\int A B ¯ P d x + Q d y = \int x 1 x 0 P (x, y 0) d x + \int x 1 x 0 P (x 1, y) d y

$\int _ {\bar{AB}} Pdx + Q dy = \int _ {x _ 0} ^ {x _ 1} P(x, y _ 0) dx + \int _ {x _ 0} ^ {x _ 1} P(x _ 1, y) dy$

1.3.5.3 等价条件

设闭区域

$G$
由光滑或分段光滑的曲线

$L$

L

$L$
围成，函数

P

(

x

,

y

)

,

Q

(

x

,

y

)

(

)

(

)

$P(x, y), Q(x, y)$
在

$G$
上具有一阶连续偏导

则下列命题等价

曲线积分

$\int_{L} P d x + Q d y$
$\int_{L} P d x + Q d y$

$\int _ L P dx + Q dy$
在

$G$
内与路径无关
对

$G$
$G$

$G$
内有向闭曲线

$L$
都有

$\oint_{L} P d x + Q d y = 0$
$\oint_{L} P d x + Q d y = 0$

$\oint _ L P dx + Q dy = 0$
P

d

x

+

Q

d

y

d

x

+

Q

d

y

$P dx + Q dy$
是

$G$
内是某个二元函数

$u (x, y)$
$u (x, y)$

$u(x, y)$
的全微分
∂

P

∂

y

=

∂

Q

∂

x

P

∂

y

=

∂

Q

∂

x

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$
在

$G$
内恒成立。

1.4 斯托克斯公式

1.4.1 定义

设

$Γ$

Γ

$\Gamma$
为分段光滑的空间有向闭曲线，

$\Sigma$
是以

$\Gamma$
为边界的分片光滑的有向曲面，

$\Gamma$
的正向与

$\Sigma$
的侧符合右手规则，函数

P

(

x

,

y

,

z

)

,

Q

(

x

,

y

,

z

)

,

R

(

x

,

y

,

z

)

(

)

(

)

(

)

$P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$
在曲面

$\Sigma$
（连同边界

$\Gamma$
）上具有一届连续偏导数，则有

\iint Σ (\partial R \partial y - \partial Q \partial z) d y d z + (\partial P \partial z - \partial R \partial x) d z d x + (\partial Q \partial x - \partial P \partial y) d x d y = \oint Γ P d x + Q d y + R d z

$\iint _ \Sigma (\frac {\partial R}{\partial y} - \frac {\partial Q}{\partial z}) dy dz + (\frac {\partial P}{\partial z} - \frac {\partial R}{\partial x}) dz dx + (\frac {\partial Q}{\partial x} - \frac {\partial P}{\partial y}) dx dy = \oint _ \Gamma P dx + Q dy + R dz$

1.4.2 意义

斯托克斯公式把曲面

$\Sigma$
上的曲面积分与沿着

$\Sigma$
的边界曲线的曲线积分联系起来。

1.4.3 记忆法

I = \iint Σ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ d y d z \partial \partial x P d z d x \partial \partial y Q d x d y \partial \partial z R ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$I = \iint _ \Sigma \left| \begin{array}{cccc} dy dz & dz dx & dx dy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} \right|$

2 曲面积分

2.1 对面积的曲面积分

2.1.1 定义

2.1.1.1 公式

\iint Σ f (x, y, z) d S = lim λ \to 0 \sum i = 1 n f (ξ i, η i, ς i) Δ S i

$\iint _ \Sigma f(x, y, z) dS = \lim _ {\lambda \to 0} \sum _ {i = 1} ^ n f(\xi _ i, \eta _ i, \varsigma _ i) \Delta S _ i$

2.1.1.2 存在性

当

f

(

x

,

y

,

z

)

(

)

$f(x, y, z)$
在曲面

$\Sigma$
上连续，

∬

Σ

f

(

x

,

y

,

z

)

d

S

(

)

S

$\iint _ \Sigma f(x, y, z) dS$
存在。

2.1.1.3 几何意义

当

f

(

x

,

y

,

z

)

≡

1

(

)

≡

1

$f(x, y, z) \equiv 1$
时，

∬

Σ

d

S

S

$\iint _ \Sigma dS$
为

$\Sigma$
的面积。

2.1.1.4 物理意义

表示面密度为

f

(

x

,

y

,

z

)

(

)

$f(x, y, z)$
曲面

$\Sigma$
的质量

2.1.2 性质

2.1.2.1 积分区域可加性

\iint Σ 1 + Σ 2 f (x, y, z) d s = \iint Σ 1 f (x, y, z) d s + \iint Σ 2 f (x, y, z) d s

$\iint _ {\Sigma _ 1 + \Sigma _ 2} f(x, y, z) ds = \iint _ {\Sigma _ 1} f(x, y, z) ds + \iint _ {\Sigma _ 2} f(x, y, z) ds$

2.1.2.2 无向性

积分与曲面的方向无关

2.1.3 计算法

2.1.3.1 xOy面上投影

曲面

$\Sigma$
的方程为

z

=

z

(

x

,

y

)

(

)

$z = z(x, y)$
,

D

x

y

y

$D _ {xy}$
为曲面

$\Sigma$
在

x

O

y

y

$xOy$
面上的投影区域，则

\iint Σ f (x, y, z) d S = \iint D x y f [x, y, z (x, y)] 1 + z 2 x (x, y) + z 2 y (x, y) - - - - - - - - - - - - - - - - - \sqrt d x d y

$\iint _ \Sigma f(x, y, z) dS = \iint _ {D _ {xy}} f[x, y, z(x, y)] \sqrt{1 + z ^ 2 _ x (x, y) + z ^ 2 _ y (x, y)} dx dy$

2.1.3.2 yOz面上投影

2.1.3.1 xOz面上投影

2.2 对坐标的曲面积分

2.2.1 定义

\iint Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = lim λ \to 0 \sum i = 1 n [P (ξ i, η i, ς i) Δ (S i) y z + Q (ξ i, η i, ς i) Δ (S i) x z + R (ξ i, η i, ς i) Δ (S i) x y]

$\iint _ \Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy = \lim _ {\lambda \to 0} \sum _ {i = 1} ^ n[P(\xi _ i, \eta _ i, \varsigma _ i) \Delta (S _ i) _ {yz} + Q(\xi _ i, \eta _ i, \varsigma _ i) \Delta (S _ i) _ {xz} + R(\xi _ i, \eta _ i, \varsigma _ i) \Delta (S _ i) _ {xy}]$
\

2.2.2 物理意义

表示流速为

v

(

x

,

y

,

z

)

=

P

(

x

,

y

,

z

)

i

⃗

+

Q

(

x

,

y

,

z

)

j

⃗

+

R

(

x

,

y

,

z

)

k

⃗

(

)

(

)

→

(

)

→

(

)

→

$v(x, y, z) = P(x, y, z) \vec{i} + Q(x, y, z) \vec{j} + R(x, y, z) \vec{k}$
的流体在单位时间流向有向曲面

$\Sigma$
指定侧的流量

$\phi$
,如果

ϕ

>

0

0

$\phi > 0$
, 表示流向

$\Sigma$
指定侧；反之，表示从指定侧流过来

2.2.3 性质

2.2.3.1 积分区域可加性

\iint Σ 1 + Σ 2 A (x, y, z) d S = \iint Σ 1 A (x, y, z) d S + \iint Σ 2 A (x, y, z) d S

$\iint _ {\Sigma _ 1 + \Sigma _ 2} A(x, y, z) dS = \iint _ {\Sigma _ 1} A(x, y, z) dS + \iint _ {\Sigma _ 2} A(x, y, z) dS$

2.2.3.2 有向性

\iint Σ - P d y d z + Q d z d x + R d x d y = - \iint Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y

$\iint _ {\Sigma ^ -} P dy dz + Q dz dx + R dx dy = - \iint _ \Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy$

（其中

Σ

−

−

$\Sigma ^ -$
表示与

$\Sigma$
取相反侧的曲面）

2.2.3 计算法

2.2.3.1 在xOy面上投影

曲面

$\Sigma$
的方程：

z

=

z

(

x

,

y

)

,

D

x

y

(

)

y

$z = z (x, y), D_{xy}$
为曲面

$\Sigma$
在

x

O

y

y

$xOy$
面上的投影区域，则

\iint Σ R (x, y, z) d x d y = \pm \iint D x y R [x, y, z (x, y)] d x d y

$\iint _{\Sigma} R(x, y, z) dx dy = \pm \iint _ {D _ {xy}} R[x, y, z(x, y)] dx dy$

(上侧取

$+$
,下侧取

$-$

-

$-$
)

(曲面

$\Sigma$
上点的法向量

n

⃗

→

$\vec{n}$
与

$z$
轴夹角为锐角，则为上侧，反之则为下侧)

2.2.3.2 在yOz面上投影

(前侧取

$+$

+

$+$
,后侧取

$-$
)

(曲面

$Σ$

Σ

$\Sigma$
上点的法向量

n

⃗

→

$\vec{n}$
与

$x$
轴夹角为锐角，则为前侧，反之则为后侧)

2.2.3.3 在xOz面上投影

(右侧取

$+$

+

$+$
,左侧取

$-$
)

(曲面

$Σ$

Σ

$\Sigma$
上点的法向量

n

⃗

→

$\vec{n}$
与

$y$
轴夹角为锐角，则为右侧，反之则为左侧)

2.3 高斯公式

2.3.1 定义

设空间闭区域

$Ω$

Ω

$\Omega$
由光滑的曲面

$\Sigma$
所围成，函数

P

(

x

,

y

,

z

)

,

Q

(

x

,

y

,

z

)

,

R

(

x

,

y

,

z

)

(

)

(

)

(

)

$P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$
在

$\Omega$
上具有连续偏导数，则

∭ Ω (\partial P \partial x + \partial Q \partial y + \partial R \partial Z) d x d y d z = \iint Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y

$\iiint _ \Omega (\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial Z}) dx dy dz = \iint _ \Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy$

其中

$\Sigma$
是

$\Omega$
的整个边界曲面的外侧。

2.3.2 意义

体现了空间区域上三重积分与该区域的边界曲面上的曲面积分之间的联系