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数据结构与算法——二叉树遍历、查找、删除、顺序存储二叉树、线索化二叉树

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一、树的存储方式

1.1 为什么需要树这种数据结构


1.1.1 数组存储方式分析：


优点：

通过下标方式访问，速度快。对于有序数组，还可以使用二分查找提高检索效率


缺点：

如果要检索某个集体之或者插入值会整体移动，效率低


ArrayList的底层也是一个数组

，（transient Object[] elementData）此数组当空间不足的时候会自动进行扩容

既然到这里了，那我们可以先了解一下ArrayList底层源码分析

  • 当创建对象时，使用的无参构造器，初始elementData容量为0（JDK7是10）

  • 如果使用的是指定容量的capacity的构造器，则初始elementData的容量为capacity



建议开发中使用带参的构造器：ArrayList list = new ArrayList(int capacity)

  • 添加元素的时候，先判断是否要扩容，若扩容则调用grow方法，否则直接添加元素到指定的位置

  • 如果使用的是无参构造器，第一次添加需要扩容的话，则扩容elementData为10，如果需要再次扩容的话，则扩容elementData为1.5倍

  • 如果使用的是capacity构造器，需要扩容的话，则直接扩容elementData为1.5倍


1.1.2 链式存储方式的分析：


优点：

在一定程度上对数组存储方式优化，比如插入一个数值节点，只需要将插入节点连接到链表中，删除同样效率较高


缺点：

在进行检索时，效率仍然较低，比如检索某个值，需要从头节点遍历


LinkedList的底层是一个双向链表

LinkedList：双向链表，内部没有声明数组，而是定义了Node类型的first和last，用于记录首末元素。同时，定义内部类Node，作为LinkedList中保存数据的基本结构 

         private static class Node<E> {
              E item;
              Node<E> next;
              Node<E> prev;
  
              Node(Node<E> prev, E element, Node<E> next) {
              this.item = element;
              this.next = next;     //next变量记录下一个元素的位置
              this.prev = prev;     //prev变量记录前一个元素的位置
              }
          }


1.1.3二叉树存储方式的分析：


能提高数据存储，读取的效率

，比如利用二叉排序树，即可保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入、删除、修改的速度


怎么构建树？

下图中的数组的数据构建成树。我们可以将数字的第一个节点设置为树的最上面，然后剩余的元素和节点比较，比节点大的在右侧添加，小的在节点左侧添加


假如我们要查找12的话，怎么查找呢？

12会先和7比较，比7大，则向7右侧寻找；

12再和7右侧的10比较，则再向10右侧寻找；

12再和10右侧的12比较，发现相等，则返回。

1.2 树的概念和常用术语

1.3 二叉树

  • 树有很多种，每个节点最多只能有两个子节点的形式成为二叉树；

  • 二叉树的子节点分为左节点和右节点；

  • 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层，并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数，则我们称为

    满二叉树；


也可以说满二叉树的节点总数= 2^n -1 , n 为层数

  • 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为

    完全二叉树

二、二叉树的遍历

2.1 前序遍历、中序遍历、后序遍历


  • 前序遍历:

    先输出父节点，再遍历左子树和右子树

先输出当前节点（初始时为根节点，即root节点），

如果左子节点不为空，则递归继续前序遍历

如果右子节点不为空，则递归继续前序遍历

按照图的输出顺序为：1 2 3 4


  • 中序遍历:

    先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树

如果当前节点的左子节点不为空，则递归继续中序遍历

先输出当前节点（初始时为根节点，即root节点）

如果当前节点的右子节点不为空，则递归继续中序遍历

按照图的输出顺序为 2 1 3 4


  • 后序遍历:

    先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点

如果当前节点的左子节点不为空，则递归继续后序遍历

如果当前节点的右子节点不为空，则递归继续后序遍历

先输出当前节点（初始时为根节点，即root节点）

按照图的输出顺序为 2 4 3 1



小结: 看输出父节点的顺序，就确定是前序，中序还是后序

假设我们再增加一个5号节点关胜

前序遍历： 1 2 3 5 4

中序遍历： 2 1 5 3 4

后序遍历： 2 5 4 3 1

2.2 代码实现

使用代码实现下图的二叉树 

package org.example.suanfa;

import lombok.Data;

public class BinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
//      先创建一个二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//      创建需要的节点
        HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");

       root.setLeft(node2);
       root.setRight(node3);
       node3.setRight(node4);
       binaryTree.setRoot(root);

        System.out.println("前序遍历");
        binaryTree.preOrder();
        System.out.println("中序遍历");
        binaryTree.midOrder();
        System.out.println("后续遍历");
        binaryTree.postOrder();
    }
}

@Data
class BinaryTree {
    private HeroNode root;

    //   前序遍历
    public void preOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.preOrder();
        } else {
            System.out.println("当前二叉树为空，无法便利");
        }
    }

    //   中序遍历
    public void midOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.midOrder();
        } else {
            System.out.println("当前二叉树为空，无法便利");
        }
    }

    //   后序遍历
    public void postOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.postOrder();
        } else {
            System.out.println("当前二叉树为空，无法便利");
        }
    }



}

@Data
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left;
    private HeroNode right;


    /**
     * 编写前序遍历的方法
     */
    public void preOrder() {
//      先输出父节点
        System.out.println(this);
//      向左子树递归前序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.preOrder();
        }
//      向右子树递归前序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.preOrder();
        }
    }

    /**
     * 中序遍历
     */
    public void midOrder() {
        //      向左子树递归前序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.midOrder();
        }
        System.out.println(this);
        //      向右子树递归前序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.midOrder();
        }
    }

    /**
     * 后序遍历
     */
    public void postOrder() {
        //      向左子树递归前序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.postOrder();
        }
        //      向右子树递归前序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.postOrder();
        }
        System.out.println(this);
    }


    public HeroNode(int no, String name) {
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return "HeroNode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }
}

三、二叉树的查找

要求：

请编写前序查找，中序查找，后续查找的方法

并分别使用三种查找方式，查找heroNo=5的节点

并分析各种查找方式比较了多少次

3.1 前序查找，中序查找，后续查找的分析

3.2 代码实现

public class BinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
//      先创建一个二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//      创建需要的节点
        HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");

        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node3.setRight(node4);
        node3.setLeft(node5);
        binaryTree.setRoot(root);

        System.out.println("前序查找");
        System.out.println(binaryTree.preOrderSearch(5));

        System.out.println("中序查找");
        System.out.println(binaryTree.midOrderSearch(5));

        System.out.println("后续查找");
        System.out.println(binaryTree.postOrderSearch(5));


    }
}

@Data
class BinaryTree {
    private HeroNode root;
 //   前序查找
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.postOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }

    //   中序查找
    public HeroNode midOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.midOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }

    //   后续查找
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {
        if (root != null) {
            return root.postOrderSearch(no);
        } else {
            return null;
        }
    }

}

@Data
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left;
    private HeroNode right;


    /**
     * @param no 要查找的编号
     * @return 对应的Node，没有找到返回null
     */
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {

        if (this.no == no) {
            return this;
        }
        HeroNode heroNode = null;

        if (this.left != null) {
//           运行到这里肯定不是自己要找的，向左递归
            heroNode = this.left.preOrderSearch(no);
        }
        if (heroNode != null) {
//          找到了
            return heroNode;
        }

//       this.right != null,为了调用的时候没有空指针异常
        if (this.right != null) {
//          运行到这里说明还没有找到
            heroNode = this.right.preOrderSearch(no);
        }

        return heroNode;
    }

    //    中序遍历查找
    public HeroNode midOrderSearch(int no) {
        HeroNode heroNode = null;
//       向左
        if (this.left != null) {
//           运行到这里肯定不是自己要找的，向左递归
            heroNode = this.left.midOrderSearch(no);
        }
        if (heroNode != null) {
//          找到了
            return heroNode;
        }

//      中
        if (this.no == no) {
            return this;
        }

//      向右
        if (this.right != null) {
//          运行到这里说明还没有找到
            heroNode = this.right.midOrderSearch(no);
        }


        return heroNode;
    }

    //    后续遍历查找
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {
        HeroNode heroNode = null;
//       向左
        if (this.left != null) {
//           运行到这里肯定不是自己要找的，向左递归
            heroNode = this.left.postOrderSearch(no);
        }
        if (heroNode != null) {
//          找到了
            return heroNode;
        }

//      向右
        if (this.right != null) {
//          运行到这里说明还没有找到
            heroNode = this.right.postOrderSearch(no);
        }

//      这个地方再写一个if判断heroNode是不是空也行

//      中
        if (this.no == no) {
            return this;
        }

        return heroNode;
    }

}

四、二叉树的删除操作

4.1 图解

因为现在还没有学二叉排序树，那现在如果删除的不是子节点的话，我们就将整个子节点的树给删掉

4.2 代码实现

public class BinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
//      先创建一个二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
//      创建需要的节点
        HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");

        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node3.setRight(node4);
        node3.setLeft(node5);
        binaryTree.setRoot(root);

        binaryTree.delNode(5);
        binaryTree.preOrder();

    }
}

@Data
class BinaryTree {
    private HeroNode root;
    //   前序遍历
    public void preOrder() {
        if (this.root != null) {
            this.root.preOrder();
        } else {
            System.out.println("当前二叉树为空，无法便利");
        }
    }

public boolean delNode(int no){
        if(root !=null){
//       如果只有一个root节点，这里立即判断root是不是要删除的节点
            if(root.getNo() == no){
                root =null;
                return true;
            }
        }else {
            System.out.println("空树，不能删除");
            return false;
        }

//       运行到这里肯定是没有删除的
//        boolean nodeBoolean = root.deleteNode(no);
        return  root.deleteNode(no) ;
    }

}

@Data
class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left;
    private HeroNode right;
    /**
     * 编写前序遍历的方法
     */
    public void preOrder() {
//      先输出父节点
        System.out.println(this);
//      向左子树递归前序遍历
        if (this.left != null) {
            this.left.preOrder();
        }
//      向右子树递归前序遍历
        if (this.right != null) {
            this.right.preOrder();
        }
    }

    /**
     * 递归删除节点
     *    如果删除的节点是叶子节点，则删除改节点
     *    如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
     * @param no
     */
    public boolean deleteNode(int no){

//      2.如果当前节点的左子节点不为空，并且左子节点就是要删除的节点，就将this.left=null,并且结束递归
        if(this.left !=null && this.left.no == no){
            this.left = null;
            return true;
        }
//      3.如果当前节点的右子节点不为空，并且右子节点就是要删除的节点，就将this.left=null,并且结束递归
        if(this.right !=null && this.right.no ==no){
            this.right =null;
            return true;
        }
//       4.如果第2，3步没有删除节点，那我们就需要向左子树递归删除
        boolean deleteBoolean = false;  //true表示删除了

        if(this.left !=null){
             deleteBoolean = this.left.deleteNode(no);
             if (deleteBoolean){
                 return true;
             }
        }

//      5.再向右子树递归删除
        if(this.right !=null){
            deleteBoolean = this.right.deleteNode(no);
            if (deleteBoolean){
                return true;
            }
        }
        return deleteBoolean;

    }
}

五、顺序存储二叉树

八大排序算法中的堆排序，就会使用到顺序存储二叉树

5.1 顺序存储二叉树基本说明

从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也能转换成数组。



要求：

  • 下图的二叉树的结点，要求以数组的方式来存放 ，如，arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 6]

  • 要求在遍历数组 arr时，仍然可以以前序遍历，中序遍历和后序遍历的方式完成结点的遍历

简单的说要就是，数据以数组的方式存储，但是读取的时候却是按照树的方式进行读取

5.2 顺序存储二叉树的特点

  • 顺序二叉树通常

    只考虑完全二叉树


  • 第n个元素的左子节点的下标为 2 * n + 1

假设n=1，此时对应的数据为2，左子节点对应的下标为2*1+1=3，数据刚好是4


  • 第n个元素的右子节点的下标为 2 * n + 2

假设n=1,此时对应的数据为2，右子节点对应的下标为2*1+2=4，数据刚好是5


  • 第n个元素的父节点的下标为 (n-1) / 2

假设n=1,此时对应的数据为2，父节点对应的下标为0，数据刚好是1


  • n : 表示二叉树中的第几个元素(按0开始编号如图所示，也可以理解为数组的下标)

5.3 代码实现

public class ArrBinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
        ArrBinaryTree arrBinaryTree = new ArrBinaryTree(arr);
//      从0号节点开始遍历
        arrBinaryTree.preOrder(0);
        System.out.println("*********************");
        arrBinaryTree.midOrder(0);
        System.out.println("*********************");
        arrBinaryTree.postOrder(0);
    }
}
//编写一个ArrBinaryTree，实现顺序存储二叉树遍历
class ArrBinaryTree {
    private int[] arr;  //崔楚数据节点的数组

    //  构造器
    public ArrBinaryTree(int[] arr) {
        this.arr = arr;
    }
    /**
     * 编写一个方法，完成顺序存储二叉树的前序遍历
     *
     * @param index 数组的下标
     */
    public void preOrder(int index) {
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
            return;
        }
//      运行到这里说明数组中还有数据
//      输出当前的这个元素
        System.out.println(arr[index]);

//     向左节点遍历,记得判断一下，可能存在数组下标越界的可能
        if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
            preOrder(index * 2 + 1);
        }

//      左递归完成后再向右节点遍历
        if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
            preOrder(index * 2 + 2);
        }

    }
//  中序遍历
    public void midOrder(int index){
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
            return;
        }
        //     向左节点遍历,记得判断一下，可能存在数组下标越界的可能
        if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
            midOrder(index * 2 + 1);
        }
        //      输出当前的这个元素
        System.out.println(arr[index]);

        // 再向右节点遍历
        if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
            midOrder(index * 2 + 2);
        }
    }
//   后续遍历
    public void postOrder(int index){
        if (arr == null || arr.length == 0) {
            System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
            return;
        }

        //     向左节点遍历,记得判断一下，可能存在数组下标越界的可能
        if ((index * 2 + 1) < arr.length) {
            postOrder(index * 2 + 1);
        }

        // 再向右节点遍历
        if ((index * 2 + 2) < arr.length) {
            postOrder(index * 2 + 2);
        }

        //      输出当前的这个元素
        System.out.println(arr[index]);
    }
}

六、线索化二叉树

下图中有7个空指针域，空指针域的个数可以看6.1的计算方式

当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为 {8, 3, 10, 1, 6, 14 }

但是

6, 8, 10, 14 这几个节点的 左右指针，并没有完全的利用上

.


如果我们希望充分的利用 各个节点的左右指针， 让各个节点可以指向自己的前后节点,怎么办?



解决方案-线索二叉树

6.1 介绍


  • n个结点的二叉链表中含有n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】 个空指针域。

利用二叉链表中的空指针域，存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种

附加的指针称为”线索”

）



公式来历：一共有n个结点，一个结点有2个指针，n个结点有2n个指针；n个结点的话会占用n-1个指针，则还剩下2n-(n-1)个空指针域

  • 这种

    加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。

根据线索性质的不同，

线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种

  • 一个结点的前一个结点，称为前驱结点

  • 一个结点的后一个结点，称为后继结点

6.2 图解

说明：线索二叉树最终形成的结果和遍历的顺序有直接的关系



说明: 当线索化二叉树后，Node节点的 属性 left 和 right ，有如下情况:


  • left 指向的是左子树，也可能是指向的前驱节点

    . 比如 ① 节点 left 指向的左子树, 而 ⑩ 节点的 left 指向的就是前驱节点.


  • right指向的是右子树，也可能是指向后继节点

    ，比如 ① 节点right 指向的是右子树，而⑩ 节点的right 指向的是后继节点.

6.3 线索化二叉树代码实现

省略所有get、set、构造方法 

public class ThreadedBinaryTreeDemo {
    public static void main(String[] args) {
//     测试一把中序线索二叉树
        HeroNode root = new HeroNode(1, "tom");
        HeroNode node2 = new HeroNode(3, "jack");
        HeroNode node3 = new HeroNode(6, "smith");
        HeroNode node4 = new HeroNode(8, "mary");
        HeroNode node5 = new HeroNode(10, "king");
        HeroNode node6 = new HeroNode(14, "dim");

//      二叉树，手动创建
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node2.setLeft(node4);
        node2.setRight(node5);
        node3.setLeft(node6);

//      测试线索化
        ThreadedBinaryTree threadedBinaryTree = new ThreadedBinaryTree();
        threadedBinaryTree.setRoot(root);
        threadedBinaryTree.threadedNodes();

//      以10结点做测试
        System.out.println("left--->"+node5.getLeft());
        System.out.println("right--->"+node5.getRight());

    }
}
class ThreadedBinaryTree {
    private HeroNode root;

//   为了实现线索化，需要创建当前结点的前驱结点指针,简单的来说，这个pre总是保留前一个结点地址
    private HeroNode pre =null;

    public void threadedNodes() {
        this.threadedNodes(root);
    }
    /**
     * 中序线索化的代码
     *  对某个结点进行线索化
     * @param node  当前需要线索化的结点
     */
    public void threadedNodes(HeroNode node) {
//     node ==null，不能线索化
        if(node == null) {
            return;
        }
//       1. 先线索化左子树
        threadedNodes(node.getLeft());
//       2. 当前结点线索化（有点难度）
//           处理前驱
        if(node.getLeft() == null) {
//         如果当前结点的左指针是空，那就指向前驱指针
            node.setLeft(pre);
//          修改当前结点的左指针的类型，指向前驱结点
            node.setLeftType(1);
        }
//          处理后继
//      这个处理后继很巧妙，此时不处理当前node节点的后继节点,只有当node到下一个节点的时候 才会去处理上一个节点的后继节点
        if (pre != null && pre.getRight() == null) {
            pre.setRight(node);
            pre.setRightType(1);
        }

//      ！！！！后移指针
//      每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点
        pre = node;

//       3. 再线索化右子树
        threadedNodes(node.getRight());
    }
}


class HeroNode {
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left;
    private HeroNode right;

//  说明：
//    如果leftType ==0 表示指向的是左子树，如果1则表示指向的前驱结点
//    如果rightType ==0 表示指向的是右子树，如果1表示指向后继结点
    private int leftType;
    private int rightType;
}


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