B
树
即二叉搜索树：
1.
所有非叶子结点至多拥有两个儿子（
Left
和
Right
）；
2.
所有结点存储一个关键字；
3.
非叶子结点的左指针指向小于其关键字的子树，右指针指向大于其关键字的子树；
如：
B
树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点的关键字相等，那么就命中；
否则，如果查询关键字比结点关键字小，就进入左儿子；如果比结点关键字大，就进入
右儿子；如果左儿子或右儿子的指针为空，则报告找不到相应的关键字；
如果
B
树的所有非叶子结点的左右子树的结点数目均保持差不多（平衡），那么
B
树
的搜索性能逼近二分查找；但它比连续内存空间的二分查找的优点是，改变
B
树结构
（插入与删除结点）不需要移动大段的内存数据，甚至通常是常数开销；
如：
但
B
树在经过多次插入与删除后，有可能导致不同的结构：
右边也是一个B
树，但它的搜索性能已经是线性的了；同样的关键字集合有可能导致不同的
树结构索引；所以，使用
B
树还要考虑尽可能让
B
树保持左图的结构，和避免右图的结构，也就
是所谓的“平衡”问题；
实际使用的
B
树都是在原
B
树的基础上加上平衡算法，即“平衡二叉树”；如何保持
B
树
结点分布均匀的平衡算法是平衡二叉树的关键；平衡算法是一种在
B
树中插入和删除结点的
策略；
B-
树
是一种多路搜索树（并不是二叉的）：
1.
定义任意非叶子结点最多只有
M
个儿子；且
M>2
；
2.
根结点的儿子数为
[2, M]
；
3.
除根结点以外的非叶子结点的儿子数为
[M/2, M]
；
4.
每个结点存放至少
M/2-1
（取上整）和至多
M-1
个关键字；（至少
2
个关键字）
5.
非叶子结点的关键字个数
=
指向儿子的指针个数
-1
；
6.
非叶子结点的关键字：
K[1], K[2], …, K[M-1]
；且
K[i] < K[i+1]
；
7.
非叶子结点的指针：
P[1], P[2], …, P[M]
；其中
P[1]
指向关键字小于
K[1]
的
子树，
P[M]
指向关键字大于
K[M-1]
的子树，其它
P[i]
指向关键字属于
(K[i-1], K[i])
的子树；
8.
所有叶子结点位于同一层；
如：（
M=3
）
B-
树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果
命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为
空，或已经是叶子结点；
B-
树的特性：
1.
关键字集合分布在整颗树中；
2.
任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3.
搜索有可能在非叶子结点结束；
4.
其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
5.
自动层次控制；
由于限制了除根结点以外的非叶子结点，至少含有
M/2
个儿子，确保了结点的至少
利用率，其最底搜索性能为：
其中，
M
为设定的非叶子结点最多子树个数，
N
为关键字总数；
所以
B-
树的性能总是等价于二分查找（与
M
值无关），也就没有
B
树平衡的问题；
由于
M/2
的限制，在插入结点时，如果结点已满，需要将结点分裂为两个各占
M/2
的结点；删除结点时，需将两个不足
M/2
的兄弟结点合并；
B+
树
B+
树是
B-
树的变体，也是一种多路搜索树：
1.
其定义基本与
B-
树同，除了：
2.
非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
3.
非叶子结点的子树指针
P[i]
，指向关键字值属于
[K[i], K[i+1])
的子树
（
B-
树是开区间）；
5.
为所有叶子结点增加一个链指针；
6.
所有关键字都在叶子结点出现；
如：（
M=3
）
B+
的搜索与
B-
树也基本相同，区别是
B+
树只有达到叶子结点才命中（
B-
树可以在
非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；
B+
的特性：
1.
所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好
是有序的；
2.
不可能在非叶子结点命中；
3.
非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储
（关键字）数据的数据层；
4.
更适合文件索引系统；
B*
树
是
B+
树的变体，在
B+
树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针；
B*
树定义了非叶子结点关键字个数至少为
(2/3)*M
，即块的最低使用率为
2/3
（代替
B+
树的
1/2
）；
B+
树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中
1/2
的数据
复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；
B+
树的分裂只影响原结点和父
结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
B*
树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分
数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字
（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之
间增加新结点，并各复制
1/3
的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以，
B*
树分配新结点的概率比
B+
树要低，空间使用率更高；
小结
B
树：二叉树，每个结点只存储一个关键字，等于则命中，小于走左结点，大于
走右结点；
B-
树：多路搜索树，每个结点存储
M/2
到
M
个关键字，非叶子结点存储指向关键
字范围的子结点；
所有关键字在整颗树中出现，且只出现一次，非叶子结点可以命中；
B+
树：在
B-
树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点
中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；
B+
树总是到叶子结点才命中；
B*
树：在
B+
树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率
从
1/2
提高到
2/3
；
