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基本概念

    分组码是一组固定长度的码组，可表示为（n , k），通常它用于前向纠错。在分组码中，监督位被加到信息位之后，形成新的码。在编码时，k个信息位被编为n位码组长度，而n-k个监督位的作用就是实现检错与纠错。当分组码的信息码元与监督码元之间的关系为线性关系时，这种分组码就称为线性分组码。
    对于长度为n的二进制线性分组码，它有种可能的码组，从种码组中，可以选择M=个码组（k<n）组成一种码。这样，一个k比特信息的线性分组码可以映射到一个长度为n码组上，该码组是从M=个码组构成的码集中选出来的，这样剩下的码组就可以对这个分组码进行检错或纠错。
    线性分组码是建立在代数群论基础之上的，各许用码的集合构成了代数学中的群，它们的主要性质如下：
    （1）任意两许用码之和（对于二进制码这个和的含义是模二和）仍为一许用码，也就是说，线性分组码具有封闭性；
    （2）码组间的最小码距等于非零码的最小码重。
    在8.2.1节中介绍的奇偶监督码，就是一种最简单的线性分组码，由于只有一位监督位通常可以表示为（n,n-1），式（8-5）表示采用偶校验时的监督关系。在接收端解码时，实际上就是在计算：

    其中，  … 表示接收到的信息位，表示接收到的监督位，若S＝0，就认为无错；若S＝1就认为有错。式（8-6）被称为监督关系式，S是校正子。由于校正子S的取值只有“0”和“1”两种状态，因此，它只能表示有错和无错这两种信息，而不能指出错码的位置。
    设想如果监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似于式（8-6）的监督关系式，计算出两个校正子和， 而共有4种组合：00，01，10，11，可以表示4种不同的信息。除了用00表示无错以外，其余3种状态就可用于指示3种不同的误码图样。
    同理，由r个监督方程式计算得到的校正子有r位，可以用来指示-1种误码图样。对于一位误码来说，就可以指示-1个误码位置。对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n – k位的分组码（常记作（n，k）码），如果希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能，则要求：

    由表中规定可已看到，仅当一错码位置在时，校正子为1；否则为0。这就意味着四个码元构成偶数监督关系：
                  (8-8a）

    同理，构成偶数监督关系：

                 （8-8b）

表8-4校正字与误码位置

    以及构成有数监督关系：

                              （8-8c）

表8-5许用码组

    接收端收到每个码组后，计算出、和，如不全为0，则可按表8-4确定误码的位置，然后予以纠正。例如，接收码组为0000011，可算出＝011，由表8-4可知在位置上有一误码。
    不难看出，上述（7，4）码的最小码距，因此，它能纠正一个误码或检测两个误码。如超出纠错能力，则反而会因“乱纠”而增加新的误码。

    8.3.2 监督矩阵H和生成矩阵G

    式（8-9）所述（7，4）码的三个监督方程式可以重新改写为如下形式：

    通常H称为监督矩阵，A称为信道编码得到的码字。在这个例子中H为r×n阶矩阵，P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵，具有这种特性的H矩阵称为典型监督矩阵，这是一种较为简单的信道编译码方式。典型形式的监督矩阵各行是线性无关的，非典型形式的监督矩阵可以经过行或列的运算化为典型形式。
    对于式（8-10）也可以用矩阵形式来表示：

    8.3.3 校验子S

    在发送端信息码元M利用式（8-16），实现信道编码，产生线性分组码A；在传输过程中有可能出现误码，设接收到的码组为B。则收发码组之差为：

    因此，校正子仅与E有关，即错误图样与校正子之间有确定的关系。
    对于上述（7，4）码，校正子S与错误图样的对应关系可由式（8-18）求得，其计算结果见表8-6所示。在接收端的译码器中有专门的校正子计算电路，从而实现检错和纠错。

表8-6（7，4）码校正子与错误图样的对应关系