一. 算法描述

欧几里得算法

我们先回忆一下欧几里得算法(辗转相除法）:

这个很好证明：

首先，

，

。

1.现假设

,那么

,取

，这样

,所以a和b的约数是b和a mod b的约数。

2。现假设

,那么

,取

,这样

,所以b和 a mod b 的约数是a和b的约数。

因此两者的最大公约数是一样的。

扩展欧几里得算法

裴蜀定理

对于任意的正整数a，b，一定存在整数x，y，使得：

此处要讨论的即为，对于给定的a，b，如何求出这里的x，y？

由欧几里得算法可得：

由裴蜀定理可得：

由于是对任意的a与b都要成立，那么：

也就是说，我们想求x与y，我们可以先求

中的x‘和y’，假设我们求到了x‘和y’,我们就可以利用(*）式求出x和y。

由次我们发现，这里是一种

递归

的思想。那我们就要找到递归结束的条件。

对于

,我们可以发现，

最后b一定会为0

，也就是

,此时很容易求出

，这样，我们可以根据这一组x和y的值，不断返回前面所有组的(x,y)，最后求出给顶我们的正整数a，b的那组解。

二.代码实现

由于我们要返回一个二元组(x,y)，这样我们定义pair就可以。

那对于代码实现，就很简单了，在gcb函数中，我们先定义递归结束的条件：

if(b==0){
    return {0,1};
}

否则，我们就去求

和

的对应的

:

II tmp=gcb(b,a%b);

我们再用(*)式，返回我输入的

对应的

,完整代码：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef pair<int,int> II;
int n;
II gcb(int a,int b){
    if(b==0){
        return {1,0};
    }
    else{
        II tmp=gcb(b,a%b);
        return {tmp.second,tmp.first-a/b*(tmp.second)};
    }
}
int main(){
    cin>>n;
    while(n--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        II res=gcb(a,b);
        cout<<res.first<<" "<<res.second<<endl;
    }
}

三.扩展欧几里得算法应用

线性同余方程

对于给定的

,求出一个

,使得

.

那我们考虑用扩展欧几里得算法求出这个

：

首先，

可以写成

这样，

现令

,若

不是

的倍数，那么此时不存在

，这是因为，

都是

的倍数，这样

一定是

的倍数。

所以上式我们可以写成：

这样，我们只需要把求到的

扩大

倍即可。

代码实现

这里代码实现和扩展欧几里得算法基本一样，但是需要注意一个问题是：经过exgcb函数传回来的

是int类型，

也是int类型，在最后得到结果时，如果直接写：

,在数字非常大的时候，两个int相乘是有可能爆掉的！！！因而我们修改成：

。但是题目有要求说，一定要输出一个int范围内的答案，但事实上我们观察

，


是可以对

取余的

！因而我们最终输出写成：

具体代码：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef pair<int,int> II;
int gcb(int a,int b){
    if(b==0){
        return a;
    }
    else{
        gcb(b,a%b);
    }
}
II exgcb(int a,int b){
    if(b==0) return {1,0};
    else{
        II tmp=exgcb(b,a%b);
        return {tmp.second,tmp.first-a/b*(tmp.second)};
    }
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        int a,b,m;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&m);
        int d=gcb(a,m);
        if(b%d!=0) puts("impossible");
        else{
            II res=exgcb(a,m);
            int x=((long long)b/d*res.first)%m;
            printf("%d\n",x);
        }
    }
}

代码优化

那我们现在在想另外一个问题，函数exgcb能不能代替gcb？

答案是显然的

。扩展欧几里得算法就是求出

修改后的代码为：

#include<iostream>
using namespace std;
typedef pair<int,int> II;
II exgcb(int a,int b){
    if(b==0) return {1,0};
    else{
        II tmp=exgcb(b,a%b);
        return {tmp.second,tmp.first-a/b*(tmp.second)};
    }
}
int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        int a,b,m;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&m);
        II tmp=exgcb(a,m);
        int d=a*tmp.first+m*tmp.second;
        if(b%d!=0) puts("impossible");
        else{
            II res=exgcb(a,m);
            int x=((long long)b/d*res.first)%m;
            printf("%d\n",x);
        }
    }
}

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