线性代数基础知识
2021年6月21号星期一，今天早上我做线性代数的练习做的很生气，为什么？因为它昨天还在说齐次线性方程组，今天就猛地一下换到了二次型还是啥玩意，六道题，几乎每道都看不太懂，本来想总结一下多元微分方程的内容，不得已，现在来梳理一下线代二次型的内容吧
正交矩阵
-
$ A^T A=AA^T=E $
-
$ A
{-1}=A
{T} $ -
$ |A|=\pm 1 $
-
A的行（列）向量都是单位向量且两两正交
实对称矩阵
- 可相似对角化
-
属于不同
λ\lambda
λ
对应的
α\alpha
α
相互正交 -
Q−
1
Q^{-1}
Q
−
1
AQ=
QT
Q^T
Q
T
AQ=
Λ\Lambda
Λ
,Q为正交阵
正交化
施密特正交化
向量组
α
1
,
α
2
,
α
3
\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3
α
1
,
α
2
,
α
3
线性无关
标准正交化：
β
1
=
α
1
\beta_1=\alpha_1
β
1
=
α
1
β
2
=
α
2
−
(
α
2
,
β
1
)
(
β
1
,
β
1
)
β
1
\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1
β
2
=
α
2
−
(
β
1
,
β
1
)
(
α
2
,
β
1
)
β
1
β
3
=
α
3
−
(
α
3
,
β
1
)
(
β
1
,
β
1
)
β
1
−
(
α
3
,
β
2
)
(
β
2
,
β
2
)
β
2
\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2
β
3
=
α
3
−
(
β
1
,
β
1
)
(
α
3
,
β
1
)
β
1
−
(
β
2
,
β
2
)
(
α
3
,
β
2
)
β
2
β
1
,
β
2
,
β
3
\beta_1,\beta_2,\beta_3
β
1
,
β
2
,
β
3
是
正交向量组
单位化
η
1
=
β
1
∣
β
1
∣
\eta_1=\frac{\beta_1}{|\beta_1|}
η
1
=
∣
β
1
∣
β
1
以此类推，
η
1
,
η
2
,
η
3
\eta_1,\eta_2,\eta_3
η
1
,
η
2
,
η
3
是
标准正交向量组
对角化操作步骤
- 求特征值和特征向量
-
线性无关向量的个数
⟶\longrightarrow
⟶
是否可对角化 -
特征向量按列排列，得到U，则有
UT
U^T
U
T
AU~
Λ\Lambda
Λ
-
矩阵A通过U转换到另一个坐标系，成为A~
Λ\Lambda
Λ
，主对角线全为特征值
正交单位化步骤
- 通过特征方程求特征值
- 对每个重特征根求解齐次线性方程组
- 施密特正交化（只有重根出来的特征向量才需要正交化，不是重根的禁止正交化）
-
单位化，即可实现
Q−
1
Q^{-1}
Q
−
1
AQ=
QT
Q^T
Q
T
AQ=
Λ\Lambda
Λ
对角化和正交单位化的区别：没有区别，都可以实现
U
−
1
U^{-1}
U
−
1
AU=
Λ
\Lambda
Λ
和
Q
−
1
Q^{-1}
Q
−
1
AQ=
Q
T
Q^T
Q
T
AQ=
Λ
\Lambda
Λ
，结果根据matlab计算相同
实对称矩阵特殊的地方在于，它的不同特征值对应的特征向量天生就是正交的，例如一个
重根特征值
所对应的
特征向量
可能大于一个，那么特征值对应的特征向量就是
k
1
α
1
+
k
2
α
2
k_1\alpha_1+k_2\alpha_2
k
1
α
1
+
k
2
α
2
，它跟
k
3
α
3
k_3\alpha_3
k
3
α
3
正交
它也特殊在Q是一个特殊的U，Q的每个列向量都互相正交，且长度为1，那么Q就是标准正交基组成的正交矩阵，当我们想要许多U里的一个Q的时候（因为正交矩阵很好？），我们才会去正交单位化
二次型表达式
长这样：
x
1
2
+
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
2
x_1^2+x_1 x_2+x_1 x_3+x_2^2
x
1
2
+
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
2
不多想，这就是二次型表达式
正交变换下的标准型
标准型即
平方和
表达式里就只有
y
1
2
+
y
2
2
y_1^2+y_2^2
y
1
2
+
y
2
2
这样的东西
规范型矩阵
规范型指
标准型
的表达式中，系数只有1，-1，0
正定
一般的说法是
二次型
x
T
A
x
x^T Ax
x
T
A
x
正定
⟺
\iff
⟺
-
存在向量x不为零，恒有
xT
A
x
x^T Ax
x
T
A
x
>0 - A的特征值全大于0
- 正惯性指数p=n
-
A与E合同，即有可逆矩阵C使A=
CT
C
C^T C
C
T
C
- A的顺序主子式全大于0
必要条件（以下内容可推正定）：
a
i
i
>
0
和
∣
A
∣
>
0
a_{ii}>0和|A|>0
a
i
i
>
0
和
∣
A
∣
>
0
对角矩阵
[
a
0
0
⋯
0
b
0
⋯
0
0
c
⋯
⋮
⋮
⋮
]
\left[\begin{matrix}a& 0& 0& \cdots \\0& b& 0& \cdots \\0& 0& c& \cdots \\\vdots & \vdots & \vdots\end{matrix} \right]
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
a
0
0
⋮
0
b
0
⋮
0
0
c
⋮
⋯
⋯
⋯
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
就长上边这样，rnm这矩阵也太难打了，这辈子都不想打几次
相似
跟正交矩阵有点类似，
P
−
1
A
P
=
B
P^{-1}AP=B
P
−
1
A
P
=
B
，则AB相似，写作A~B， 如果A~
Λ
\Lambda
Λ
，那么
Λ
\Lambda
Λ
是A的相似标准型
相似的必要条件
-
特征多项式
相同，
∣λ
E
−
A
∣
=
∣
λ
E
−
B
∣
|\lambda E-A|=|\lambda E-B|
∣
λ
E
−
A
∣
=
∣
λ
E
−
B
∣
-
秩
相同 -
行列式
相同=特征值的积相同 -
特征值
相同 -
迹相同
=主对角线元素之和相同=特征值之和=
αT
α
\alpha^T\alpha
α
T
α
其中，
α
T
α
为
主
对
角
线
元
素
之
和
，
α
α
T
为
矩
阵
，
α
为
列
向
量
\alpha^T\alpha为主对角线元素之和，\alpha\alpha^T为矩阵，\alpha为列向量
α
T
α
为
主
对
角
线
元
素
之
和
，
α
α
T
为
矩
阵
，
α
为
列
向
量
对角化
就是写成对角阵，主对角线上全为特征值的样子，不要随便提一整行的系数出去，矩阵不是这样计算的，行列式才是