一、概念

• 在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上，一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同来预测或估计因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效，更符合实际。因此多元线性回归比一元线性回归的实用意义更大。

二、EXCEL进行多元线性回归

• 1.删掉表里的非数据项，以进行多元线性回归
  
• 2.选中要进行多元线性回归的区域，点击文件
• 3.选择更多里面的选项
• 4.进入加载项，点击转到
• 5.选择分析数据库
• 6.点击数据里的数据分析
• 7.选择回归
• 8.分别选中x和y值的区域，输出选项可以选新工作表组，这样就可以在新工作表里看到了，弄好之后点击确认就行了。
• 10、结果，intercept为截距，下面几行就是对应自变量的系数

三、代码方式实现多元线性回归

3.1 用sklearn包实现

3.1.1 不进行数据处理

• 1.导入包

import pandas as pd
import numpy as np
import seaborn as sns
from sklearn import datasets
from sklearn.linear_model import LinearRegression

• 2.读取文件

df = pd.read_csv('..\\source\\house_prices.csv')
df.info()#显示列名和数据类型类型
df.head(6)#显示前n行，n默认为5

• 3.取出自变量和因变量

#取出自变量
data_x=df[['area','bedrooms','bathrooms']]
data_y=df['price']

• 4.进行多元线性回归并得出结果

# 进行多元线性回归
model=LinearRegression()
l_model=model.fit(data_x,data_y)
print('参数权重')
print(model.coef_)
print('模型截距')
print(model.intercept_)

• 结果
  

3.1.2 进行数据处理

• 1.前面两步的步骤是一样的，接下来是进行异常值检测

# 异常值处理
# ================ 异常值检验函数：iqr & z分数 两种方法 =========================
def outlier_test(data, column, method=None, z=2):
    """ 以某列为依据，使用 上下截断点法 检测异常值(索引) """
    """ 
    full_data: 完整数据
    column: full_data 中的指定行，格式 'x' 带引号
    return 可选; outlier: 异常值数据框 
    upper: 上截断点;  lower: 下截断点
    method：检验异常值的方法（可选, 默认的 None 为上下截断点法），
            选 Z 方法时，Z 默认为 2
    """
    # ================== 上下截断点法检验异常值 ==============================
    if method == None:
        print(f'以 {column} 列为依据，使用 上下截断点法(iqr) 检测异常值...')
        print('=' * 70)
        # 四分位点；这里调用函数会存在异常
        column_iqr = np.quantile(data[column], 0.75) - np.quantile(data[column], 0.25)
        # 1，3 分位数
        (q1, q3) = np.quantile(data[column], 0.25), np.quantile(data[column], 0.75)
        # 计算上下截断点
        upper, lower = (q3 + 1.5 * column_iqr), (q1 - 1.5 * column_iqr)
        # 检测异常值
        outlier = data[(data[column] <= lower) | (data[column] >= upper)]
        print(f'第一分位数: {q1}, 第三分位数：{q3}, 四分位极差：{column_iqr}')
        print(f"上截断点：{upper}, 下截断点：{lower}")
        return outlier, upper, lower
    # ===================== Z 分数检验异常值 ==========================
    if method == 'z':
        """ 以某列为依据，传入数据与希望分段的 z 分数点，返回异常值索引与所在数据框 """
        """ 
        params
        data: 完整数据
        column: 指定的检测列
        z: Z分位数, 默认为2，根据 z分数-正态曲线表，可知取左右两端的 2%，
           根据您 z 分数的正负设置。也可以任意更改，知道任意顶端百分比的数据集合
        """
        print(f'以 {column} 列为依据，使用 Z 分数法，z 分位数取 {z} 来检测异常值...')
        print('=' * 70)
        # 计算两个 Z 分数的数值点
        mean, std = np.mean(data[column]), np.std(data[column])
        upper, lower = (mean + z * std), (mean - z * std)
        print(f"取 {z} 个 Z分数：大于 {upper} 或小于 {lower} 的即可被视为异常值。")
        print('=' * 70)
        # 检测异常值
        outlier = data[(data[column] <= lower) | (data[column] >= upper)]
        return outlier, upper, lower

• 2.得到异常集并进行丢弃

outlier, upper, lower = outlier_test(data=df, column='price', method='z')#获得异常数据
outlier.info(); outlier.sample(5)
df.drop(index=outlier.index, inplace=True)#丢弃异常数据

• 3.取出自变量和因变量

#取出自变量
data_x=df[['area','bedrooms','bathrooms']]
data_y=df['price']

• 4.进行多元线性回归并得出结果

# 进行多元线性回归
model=LinearRegression()
l_model=model.fit(data_x,data_y)
print('参数权重')
print(model.coef_)
print('模型截距')
print(model.intercept_)

• 结果
  

3.2 用线性回归模型的统计学库实现

• 3.2.1 数据的预处理都是一样的，只是后面的导入的函数不一样了,下面是进行了虚拟变量设置并进行数据拼接

# 对名义变量neighborhood进行处理
# 设置虚拟变量
nominal_data = df['neighborhood']
# 设置虚拟变量
dummies = pd.get_dummies(nominal_data)
dummies.sample() # pandas 会自动帮你命名
# 每个名义变量生成的虚拟变量中，需要各丢弃一个，这里以丢弃C为例
dummies.drop(columns=['C'], inplace=True)
dummies.sample()
# 对名义变量style进行处理
# 设置虚拟变量
nominal_style_data = df['style']
# 设置虚拟变量
style_dummies = pd.get_dummies(nominal_style_data)
style_dummies.sample() # pandas 会自动帮你命名
# 每个名义变量生成的虚拟变量中，需要各丢弃一个，这里以丢弃lodge
#原因：转化后的虚拟变量需要舍弃一个，才能得到满秩矩阵，可理解为当变量名可划分为n类时，只需要n-1个虚拟变量就能获取所有信息了
style_dummies.drop(columns=['lodge'], inplace=True)
style_dummies.sample()
#数据拼接
results = pd.concat(objs=[df, dummies], axis='columns') # 按照列来合并
results = pd.concat(objs=[results, style_dummies], axis='columns') # 按照列来合并
results.sample(3)

• 3.2.2进行预测

from statsmodels.formula.api import ols
#使用虚拟变量
lm = ols('price ~ area + bedrooms + bathrooms + A + B', data=results).fit()
lm.summary()

• 3.2.3 预测结果，结果会比用sklearn详细许多

• 3.2.4 提示可能出现多元共线性，检验一下，再次建模

def vif(df, col_i):
    """
    df: 整份数据
    col_i：被检测的列名
    """
    cols = list(df.columns)
    cols.remove(col_i)
    cols_noti = cols
    formula = col_i + '~' + '+'.join(cols_noti)
    r2 = ols(formula, df).fit().rsquared
    return 1. / (1. - r2)
test_data = results[['area', 'bedrooms', 'bathrooms', 'A', 'B']]
for i in test_data.columns:
    print(i, '\t', vif(df=test_data, col_i=i))

• 3.2.5 检验结果如下，可以看到bedroom和bathroom相关程度较高
• 3.2.6 去掉bedroom，再次建模

# 去掉bedroom再次建模
lm = ols(formula='price ~ area + bathrooms + A + B', data=results).fit()
lm.summary()

• 3.2.7 得出结果

3.3 分析

当不进行数据处理时，用jupyter和使用excel进行数据分析的结果是一样的，但进行了数据清理之后回归方程与之前相差的挺大的，而进行了多元共线性检测以后，结果变得更为合理了。

四、总结

初步了解了多元线性回归的步骤，也清楚了异常数据对于回归方程的影响，在进行数据处理之前应该先进行数据预处理，同时也要考虑两个变量的关系。

五、参考

Excel-一元线性回归和多元线性回归（借助数据分析功能和直接计算）