移动最小二乘法（MLS）曲线曲面拟合
曲线曲面拟合有很多种方法，Beizer，B样条等，曲面拟合移动最小二乘法是一个很好的选择，本文会详细讲解一下移动最小二乘法方法拟合曲面，并给出C++代码实现。
本文首先是最小二乘法的分析，然后是画曲面曲线图。
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MLS的讲解
移动最小二乘法是在最小二乘法基础上加以改进的，添加了权函数等，具体的可以参考论文，“移动最小二乘法论文”链接，这篇论文对MLS讲解的很详细，最后还给出了程序设计思路。我做一点点说明，论文中的矩阵A的写法欠妥，其他关于移动最小二乘法研究中还有另外一种写法：
，这里的B对应论文中的P，这点要注意，这样的话A就是一个矩阵。如果是线性基的二维曲线，矩阵A就是：
，依次类推，其他的可以详看论文。
MLS代码块
代码的话我是根据论文中提供的程序设计，再结合一些网上的资料编写出来的，编程语言是C++；当然我也编写了python，应该是先编python，再编的C++。原因是python中可以加载一个矩阵运算库，C++中没有矩阵运算，要自己编写库，大家可以参考我这篇博客，介绍了矩阵运算链接。但是后来实验发现，python跑起来很费时间，C++只需它的一半的时间久跑完了，需要python代码也可以私信我，这里就不贴了。哦，对了，代码是包含很多自定义函数和变量，大家不要瞎贴代码，对照那篇论文的程序设计思路一下子就懂了，话不多说，上代码：
//移动最小二乘法的具体计算过程，参照论文“基于移动最小二乘法的曲线曲面拟合”，AB矩阵参照论文“移动最小二乘法的研究”
int MLS_Calc(int x_val,int y_val,float x[],float y[],float z[])
========================================2019-03-05============================
这里有些错误。三维曲面拟合是以二维（x，y）为基函数的，因此这里只是（x），错了。可以去搜代码去看，一维二维基函数都有。↓↓
{
int max_delta=max_x-min_x;//区域半径
float p[M][N]={0};
float sumf[N][N]={0};
float w[M]={0};
for(int j=0;j<M;j++)//求w
{
float s=fabs((x[j]-x_val))/max_delta;
if(s<=0.5)
w[j]=2/3.0-4*s*s+4*s*s*s;
else
{
if(s<=1)
w[j]=4/3.0-4*s+4*s*s-4*s*s*s/3.0;
else
w[j]=0;
}
p[j][0]=1;//每个采样点计算基函数
p[j][1]=x[j];
p[j][2]=y[j];
p[j][3]=x[j]*x[j];
p[j][4]=x[j]*y[j];
p[j][5]=y[j]*y[j];
}
f(w,x,y,sumf,p);//计算得出A矩阵
float p1[N];
Matrix A=Trans_Matrix(sumf,N);
Matrix A_1=m_c.Matrix_copy(&A);
m_c.Matrix_inv(&A_1);//求A矩阵的逆A_1
Matrix B(N,1);//求矩阵B，N行M列
B.init_Matrix();
for(int j=0;j<M;j++)//求得B矩阵的每列
{
p1[0]=1*w[j];
p1[1]=x[j]*w[j];
p1[2]=y[j]*w[j];
p1[3]=x[j]*x[j]*w[j];
p1[4]=x[j]*y[j]*w[j];
p1[5]=y[j]*y[j]*w[j];
Matrix P=Trans_Matrix_One(p1,N);//数组P1转成1行N列的P矩阵
if(j==0)//第一列直接赋值
{
for(int i=0;i<N;i++)
B.write(i,0,p1[i]);
}
else
{
m_c.Matrix_trans(&P);//矩阵转置，P转为N行1列矩阵
m_c.Matrix_addCols(&B,&P);//矩阵B列附加，形成N行M列矩阵
}
P.free_Matrix();
}
float D[N]={1,x_val,y_val,x_val*x_val,x_val*y_val,y_val*y_val};
Matrix D1=Trans_Matrix_One(D,N);//转成1行N列矩阵
Matrix D_A1_mul(1,N);//定义矩阵并初始化相乘的结果矩阵，1行N列
D_A1_mul.init_Matrix();
if(m_c.Matrix_mul(&D1,&A_1,&D_A1_mul)==-1)
cout<<"矩阵有误1！";//1行N列矩阵乘以N行N列矩阵得到结果为1行N列
Matrix D_A1_B_mul(1,M);//定义矩阵并初始化相乘的结果矩阵，1行M列
D_A1_B_mul.init_Matrix();
if(m_c.Matrix_mul(&D_A1_mul,&B,&D_A1_B_mul)==-1)
cout<<"矩阵有误2";//1行N列矩阵乘以N行M列矩阵得到记过矩阵为1行M列
Matrix z1=Trans_Matrix_One(z,M);//将数组z转换成1行M列矩阵
m_c.Matrix_trans(&z1);//转置得到M行1列矩阵
Matrix Z(1,1);//得到矩阵结果，1行1列
Z.init_Matrix();
if(m_c.Matrix_mul(&D_A1_B_mul,&z1,&Z)==-1)
cout<<"矩阵有误3！";//1行M列矩阵乘以M行1列矩阵得到1行1列矩阵，即值Z
float z_val=Z.read(0,0);
if(z_val>255)
z_val=255;
if(z_val<0)
z_val=0;
A.free_Matrix();
A_1.free_Matrix();
B.free_Matrix();
D1.free_Matrix();
D_A1_mul.free_Matrix();
D_A1_B_mul.free_Matrix();
z1.free_Matrix();
Z.free_Matrix();
return (int)z_val;
}
画曲线曲面
跑一个程序能看得到结果心里是很开心的，非常有成就感。想看到拟合结果，曲线C++可以画出来，具体可以参考C++画曲线链接，曲面的话matlab是不错选择，但是软件太大了，python也是可以画曲面的，网上一搜一大堆，着了就不给链接了，网上很多，参考综合。
—————————————————————2019-02-23———————————————————
真的很感谢大家的支持，C++和python版本的源代码都不全，而且写的都有问题，我的资源里貌似有。我个人建议大家去github上搜索，都有很多种版本；matlab版本还可以去mathworks上搜。
—————————————————————2019-03-05———————————————————
最近一些小伙伴们提出了博客的一些错误地方，还是很谢谢你们的。我做一下说明。具体的大家可以去我之前说的网站下载代码去研究下，还是不太明白可以去找一些硕士论文看看，写的很详细。
————————————————————-2019-05-22———————————————————
我还写了另外一篇博客：深入理解移动最小二乘法曲面拟合代码 ，里面有代码简要的讲解改进，也放了相关代码链接，大家可以去那下载。