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《微积分：一元函数微分学》——判断极值的三个充要条件

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一阶可导点是极值点的必要条件

设 f(x) 在 x=x0 处可导，且在点 x0 处取得极值，则必有
f'(x)=0

判断极值的第一充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处连续，且在 x0 的某去心邻域
\mathring{U}(x_{0},\delta)
内可导

(x_{0}-\delta,x_{0}) (x_{0},x_{0}+\delta)
f'(x)<0 f'(x)>0 x0 极小值点
f'(x)>0 f'(x)<0 x0 极大值点

判断极值的第二充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处二阶可导，且
f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\neq 0

f''(x_{0})<0

x0 极大值点

f''(x_{0})>0

x0 极小值点

判断极值的第三充分条件

设 f(x) 在 x=x0 处 n 阶可导，且

\\\\f^{(m)}(x_{0})=0\quad (m=1,2,\cdot\cdot\cdot,n-1) \\\\f^{(n)}(x_{0})\neq0\quad (n\geq 2)


当 n 为偶数时

f^{(n)}(x_{0})<0 x0 极大值点
f^{(n)}(x_{0})>0 x0 极小值点

证明：

由于n为偶数，令 n=2k，构造极限

\\\\\\\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})^{2k}} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f'(x)}{2k(x-x_{0})^{2k-1}} \\\\\\\cdot\cdot\cdot \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f^{(2k-1)}(x)-f^{(2k-1)}(x_{0})}{(2k)!(x-x_{0})} \\\\\\=\frac{1}{(2k)!}f^{(2k)}(x_{0})\neq0

上述洛必达法则成立的依据是最后的结果存在.


由函数极限的局部保号性可得：

f^{(2k)}(x_{0})<0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}<0\Rightarrow f(x)<f(x_{0})

x0 极大值点

f^{(2k)}(x_{0})>0\Rightarrow \frac{f(x)-f(x_{0}))}{(x-x_{0})^{2k}}>0\Rightarrow f(x)>f(x_{0})

x0 极小值点

证毕